Menunjukkan bahwa $2^n-1 \neq k^y$ untuk aneh $y$ [duplikat]
Untuk $n\in \mathbb N$, $n>1$ buktikan itu $$2^n-1 \neq k^y$$ untuk semua $k,y \in \mathbb N_{\geq 2}.$
Dengan asumsi kontradiksi yang ada $(k,y)$ seperti yang $2^n-1 = k^y$, Saya berhasil membuktikan bahwa pasangan tidak ada untuk genap k, dan untuk genap y.
Saya perlu membuktikan bahwa itu juga tidak ada untuk y ganjil.
Saya perlu menggunakan bukti ini
$$\frac{x^{2k+1}+1}{x+1} = x^{2k} -x^{2k-1}+\cdots+1.$$
Terima kasih!
Jawaban
Jika $y$ ganjil (mis $y=2z+1$), kemudian:
$$2^n=k^y+1=(k+1)(k^{2z}-k^{2z-1}+\ldots+ 1)$$
Artinya jumlah dalam tanda kurung kedua di sebelah kanan sudah $2z+1$ istilah, semua ganjil, jadi seluruh jumlahnya ganjil.
Ini pada gilirannya berarti itu $2^n\mid k+1$ karena semua kemunculan faktor prima $2$ harus ada di faktor pertama $k+1$.
Namun, seperti yang kita juga punya $k+1\mid 2^n$, ini artinya $k+1=2^n$, yaitu $k=2^n-1=k^y$. Begitu juga$k=1$ sehingga $2^n=2$, yaitu $n=1$ (kontradiksi), atau $k>1$, yang menyiratkan $y=1$ (kontradiksi).