Nilai eigen dan spasi nol
Saya ingin memahami hubungan antara ruang nol dan nilai eigen matriks dengan lebih baik.
Pertama-tama, kita tahu bahwa file $n \times n$ matriks akan memiliki $n$ eigenvalues, meskipun eigenvalues bisa jadi kompleks dan berulang.
Selanjutnya, kita tahu bahwa jika $A$ memiliki nilai eigen 0, maka vektor eigen yang sesuai berada di ruang kosong $N(A)$, sejak $A\textbf{x}=0\textbf{x}=\textbf{0}$. Ini menyiratkan bahwa semua vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen 0 tepat menjangkau$N(A)$.
Menggunakan dua kesimpulan yang disebutkan di atas, dan asumsikan kita memiliki $n \times n$ matriks dengan pangkat $r$, sekarang kita tahu dimensi ruang nol tersebut $n-r$. Dari sini, dapatkah kita menyimpulkan bahwa setidaknya akan ada $n-r$eigenvalues yang sama dengan 0? dan tepat $n-r$ vektor eigen independen untuk menjangkau ruang nol?
Jawaban
Jika $A$ memiliki peringkat penuh, maka dimensi ruang nol tepat $0$.
Sekarang, jika $A_{n×n}$ memiliki pangkat $r\lt n $, lalu dimensi ruang nol $=(n-r)$. Ini$(n-r)$akan menjadi multiplisitas geometris dari nilai eigen$0$.
Tapi kita tahu itu, keserbaragaman aljabar $\ge$ keserbaragaman geometris .
Jadi, multiplisitas aljabar dari nilai eigen $0$ setidaknya harus $(n-r)$. Ini berarti setidaknya akan ada$(n-r)$ jumlah $0$'s, sebagai nilai eigen dari $A$.
Dan, karena multiplisitas geometris dari nilai eigen $=$ Jumlah vektor eigen bebas linier yang sesuai dengan nilai eigen itu, kita dapat menyimpulkan bahwa ada persisnya $(n-r)$ jumlah vektor eigen independen linier yang sesuai dengan nilai eigen $0$.
Diberikan matriks $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$:
Sebuah vektor $x$ adalah vektor eigen dari $A$ jika $Ax = \lambda x$ dimana $\lambda$ adalah nilai eigen.
Kernel (spasi kosong) dari $A$ adalah setnya $\{v | Av=0\}$, yaitu, semua $v$ yang memiliki nilai eigen $0$.
Ruang angkasa, $E_{\lambda}$, adalah spasi nol dari $A-\lambda I$, yaitu, $\{v | (A-\lambda I)v = 0\}$. Perhatikan bahwa ruang kosong itu adil$E_{0}$.
Multiplisitas geometris dari nilai eigen $\lambda$ adalah dimensi $E_{\lambda}$, (juga jumlah vektor eigen independen dengan nilai eigen $\lambda$ rentang itu $E_{\lambda}$)
Multiplisitas aljabar dari nilai eigen $\lambda$ adalah berapa kali $\lambda$ muncul sebagai root untuk $det(A-x I)$.
keserbaragaman aljabar $\geq $ keserbaragaman geometris.
Perhatikan Contoh berikut, $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
Kemudian $n = 2$ dan pangkat $rank(A) = 1$. Itu$det(A-x I) = x^{2}$ dan akarnya $x = \{0,0\}$. Kami melihat bahwa nilai eigen$0$ memiliki multiplisitas aljabar $2$. Tapi, keragaman geometris adalah dimensi$E_{0} = span\left(\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}\right)$ yang mana $1$. Jadi dari contoh ini kita melihat itu$n-r = 1$, yang sama dengan kelipatan geometris $\lambda = 0$.
Oleh karena itu, kami menyimpulkan bahwa $\lambda = 0$ akan memiliki multiplisitas aljabar setidaknya $n−r$ dan multiplisitas geometris $n−r$. Ini terlihat jelas dari definisi pangkat dan keragaman geometris.