Nomor dari $1,\frac12,\frac13,…\frac{1}{2010}$ ditulis dan dua lainnya $x,y$ diambil dan kami ganti $x,y$ dengan hanya $x+y+xy$

Aug 17 2020

Ini pertanyaan yang sangat bagus! (Semua orang pernah menemukan pertanyaan yang membuat mereka menyukai matematika, ini milik saya :)

Kami menulis serangkaian angka $$1,\frac12,\frac13,..........,\frac{1}{2010}$$

Sekarang kita dapat memilih dua nomor $x$ dan $y$ dan kami mengganti kedua angka ini dengan hanya satu angka $x+y+xy$

Proses ini diulang sampai hanya tersisa satu angka, cari angka terakhir.

Ini baru saja membuatku bingung! Serius tidak tahu bagaimana melanjutkan. Bukankah menarik bahwa kita berakhir dengan nomor yang sama meskipun kita memulainya? Semua Petunjuk dipersilakan tentang cara mengatasinya

Jawaban

8 TeresaLisbon Aug 17 2020 at 00:02

Ini adalah pertanyaan yang tidak berubah: bayangkan sebuah fungsi $f(x_1,...,x_m)$ (dimana $m$ adalah sejumlah argumen dan $x_i$ adalah semua bilangan real) dengan properti berikut: $f(x_1,...,x_m)$ tidak berubah ketika Anda mengambil dua dari ini $x_i,x_j$ dan menggantinya dengan hanya $x_i+x_j+x_ix_j$.

Lalu apa yang terjadi? Jika hanya ada satu nomor$N$ di papan kiri setelah semua itu, lalu $f(x_1,...,x_m) = f(N)$, jadi $N = f^{-1}(f(x_1,...,x_m))$ dengan ketentuan $f(x_1,...,x_m)$ memiliki tepat satu gambar awal.

Petunjuk untuk fungsi ini $f$ datang dari $(1+x)(1+y)=1+(x+y+xy)$, jadi kira-kira seperti: tambahkan $1$ ke semua angka yang Anda miliki, dan mengalikan hasil ini bersama-sama?

Jelas sekali bahwa fungsi seperti itu berhasil! Dalam hal ini, kita harus menambahkan$1$ke setiap angka, dan kalikan semuanya. Itu seperti mengalikan$\frac{2}{1}, \frac 32, \frac 43 ,...\frac {2011}{2010}$, yang adil $2011$.

Sekarang, berapa pun nomor terakhir yang ada di papan, satu plus itu $2011$, begitulah $2010$.

7 JCAA Aug 17 2020 at 00:01

Operasi $x*y=x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$ pada bilangan real bersifat asosiatif sehingga hasilnya tidak bergantung pada urutan langkah dan sama dengan $$(1+1)(1+1/2)...(1+1/2010)-1=2011!/2010!-1=2010$$

6 Fawkes4494d3 Aug 17 2020 at 00:04

Misalkan Anda memilih $\frac1m$ dan $\frac1n$ pada giliran pertama, gantilah dengan $\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$

(perhatikan itu $x+y+xy=(x+1)(y+1)-1$)

Di belokan berikutnya, Anda dapat memilih dua nomor $\frac1a$ dan $\frac1b$, dan nomor yang diganti akan terlihat seperti di atas, dengan $a,b$ mengganti $m,n$. Namun, jika Anda memilih nomor baru yang diperoleh pada langkah sebelumnya, yaitu$\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\right)-1$ dan salah satu nomor aslinya $\frac1a$, lalu Anda menggantinya dengan $\left(\frac{m+1}m\frac{n+1}n\frac{a+1}a\right)-1$.

Isi langkah-langkah perantara untuk menunjukkan dengan induksi bahwa bilangan yang diganti di setiap langkah akan terlihat $\left(\prod_j\frac{a_j+1}{a_j}-1\right)$, sehingga jawaban akhirnya adalah $$\dfrac{2011}{2010}\dfrac{2010}{2009}\cdots \dfrac{2}{1}-1=2010$$.