Peran monotonisitas dalam urutan variasi terbatas.

Aug 16 2020

Ingat itu; Sebuah urutan$\left\{x_{n}\right\}$bilangan real dikatakan variasi terbatas jika deret$$ \sum_{k=2}^{\infty}\left|x_{k}-x_{k-1}\right| $$Konvergen.

Kita tahu bahwa barisan konvergen tidak harus merupakan barisan variasi terbatas dengan mengambil$x_n=\frac{1}{n}$untuk genap$n$dan$0$untuk ganjil$n$. Tapi bagaimana dengan barisan konvergen monoton? Apakah mereka urutan variasi terbatas? Jika demikian, bagaimana membuktikannya?

Jawaban

4 ArcticChar Aug 16 2020 at 16:52

Petunjuk: Jika$\{x_n\}$meningkat,

$$\sum_{k=2}^n |x_k - x_{k-1}| = \sum_{k=2}^n x_k - x_{k-1} = x_n - x_1.$$