Periksa konvergensi seri $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left (n!\right )^2}{\left (2n+1\right )!}4^n}$

Question

Saya ingin memeriksa apakah rangkaian berikut bertemu atau tidak.

• $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\left (n!\right )^2}{\left (2n+1\right )!}4^n}$

Saya kira kita harus menemukan batas atas di sini dan kemudian menerapkan tes perbandingan. Tapi saya tidak benar-benar tahu ikatan mana yang bisa kami ambil. Bisakah Anda memberi saya petunjuk?

• $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}}$

Kami memiliki istilah yang merupakan produk dari bentuk $\frac{2i-1}{2i}=1-\frac{1}{2i}$. Untuk menerapkan uji perbandingan kita harus menemukan batas atas. Apakah memegang itu$1-\frac{1}{2i}\leq \frac{1}{2}$ sehingga $$\prod_{i=1}^n\left (1-\frac{1}{2i}\right )\leq \prod_{i=1}^n \frac{1}{2}=\frac{1}{2^n}$$ Kemudian mengambil jumlah yang kita dapatkan $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n}\leq \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^n}=1$$ Jadi dari uji perbandingan jumlah aslinya harus sama juga.

Apakah semuanya benar?

• $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \ldots \cdot 2n\cdot (2n+2)}}$

Kami memiliki istilah yang merupakan produk dari bentuk $\frac{2i-1}{2i+2}$. Batas atas manakah yang dapat kita gunakan dalam kasus ini?

Answer 1

Beberapa petunjuk:

Pertama-tama kita bisa menggunakan tes Raabe$$n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1 \right) = \frac{n}{2(n+1)}$$

Untuk kedua $$\frac{1}{2\sqrt{n}} \leqslant \frac{1}{2} \frac{3}{4} \cdots \frac{2n-1}{2n} \leqslant \frac{1}{\sqrt{2n}}\quad (1)$$

Bukti:

Untuk $n=1$ kita punya $\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{\sqrt{2}} $, jadi mari kita asumsikan $n \geqslant 2$. Kita punya$$\frac{3}{4}>\frac{2}{3}, \frac{5}{6}>\frac{4}{5},\frac{7}{8}>\frac{6}{7}, \cdots, \frac{2n-1}{2n}>\frac{2n-2}{2n-1}$$ perkalian yang diberikan ketidaksetaraan ini $$\frac{3}{4} \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} > \frac{2}{3} \frac{4}{5} \cdots \frac{2n-2}{2n-1}$$ Sekarang jika kita mengalikan sisi kiri dan kanan di sisi kiri, kita punya $$\left( \frac{3}{4} \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} \right)^2 > \frac{1}{n} $$ Yang merupakan sisi kiri (1).

Answer 2

Perkiraan Stirling menyiratkan $\binom{2n}{n}\sim\frac{4^n}{\sqrt{n\pi}}$, jadi $\frac{n!^24^n}{(2n+1)!}\sim\frac{\sqrt{\pi}/2}{\sqrt{n}}$, jadi serialnya berbeda.