Perluasan Grup yang Setuju oleh Grup yang Setuju adalah Setuju
Saya ingin membuktikannya jika $H\subset G$ adalah subkelompok normal yang setuju seperti itu $G/H$ setuju, kalau begitu $G$setuju. Definisi dari amenability yang saya gunakan adalah sebagai berikut:
Sebuah kelompok $G$ setuju jika setiap tindakan $G$ oleh homeomorfisme dari ruang metrik kompak mengakui ukuran probabilitas yang tidak berubah.
Definisi ini dapat ditemukan pada "Groups of Circle Diffeomorphisms" Navas. Saya telah mencoba banyak cara berbeda tetapi saya tidak dapat membuktikannya, saya tahu ada banyak definisi yang setara untuk amenabilitas tetapi saya ingin (jika mungkin) bukti yang hanya menggunakan definisi ini.
Inilah yang telah saya lakukan sejauh ini: Jika $G$ bertindak $(M,d)$ kemudian $G/H$ bertindak $M/H$ (hasil bagi $M$ dengan orbit $H$), masalahnya adalah bahwa grup ini belum tentu metrik, whe dapat memberikan grup hasil bagi dengan pseudometrik $d'$ diberikan di wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Metric_space#Quotient_metric_spaces (topologi bisa lebih lemah dari topologi hasil bagi), dan kemudian lakukan hasil bagi lainnya $X=(M/H)/\sim$ dimana $[x]\sim [y]$ jika $d'([x],[y])=0$. Sini$X$ adalah ruang metrik yang ringkas dan kami dapat mengambil tindakan $G/H$ di $X$ diberikan oleh ${[g]}({[[x]]})=[[y]]$ jika $[[g(x)]]=[[y]]$, sejak $G/H$ dapat diterima ada ukuran probabilitas yang tidak berubah, yaitu $\nu$. Sekarang setnya$A_{[[x]]}=\lbrace y\in M:[[y]]=[[x]]\rbrace$ kompak dan tidak berubah di bawah aksi $H$, jadi masing-masing memiliki ukuran probabilitas yang tidak berubah yaitu $\mu_{[[x]]}$ dan kita bisa menentukan ukuran probabilitas $M$ sebagai $$\mu(B)=\int_X \mu_{[[x]]}(B\cap A_{[[x]]})d\nu([[x]]).$$
Saya tidak tahu apakah ini berfungsi secara umum, saya tidak dapat membuktikan atau membantahnya, saya kira ini tidak berhasil karena mungkin ada beberapa pergeseran internal orbit $H$ di set $A_{[[x]]}$, tapi saya harap ini memberi Anda wawasan tentang apa yang saya coba sejauh ini.
Saya harap saya jelas, terima kasih banyak sebelumnya.
Sesuatu yang mungkin membantu: Ruang ukuran probabilitas pada ruang metrik adalah kompak, jadi Anda bisa menggunakan konvergensi neasur probabilitas.
Jawaban
Perbaiki ruang metrik yang ringkas $M.$ Membiarkan $W(M)$ menunjukkan ruang Wasserstein untuk $M$: ruang ukuran probabilitas $M,$dengan metrik Wasserstein. Properti penting adalah bahwa metrik ini memberikan topologi konvergensi yang lemah, pembuatan$W(M)$ ruang metrik yang ringkas.
Membiarkan $W(M)^H$ menunjukkan subruang dari $H$ukuran varian. Ini tertutup, jadi ini juga merupakan ruang metrik yang ringkas.
Tindakan dari $G$ di $M$ memberikan tindakan $(gp)(A)=p(g^{-1}A)$ di $W(M).$ Sejak $H$ normal, $G$ diawetkan $W(M)^H$: jika $p$ aku s $H$ invarian kemudian $p(g^{-1}hA)=p((g^{-1}hg)g^{-1}A)=p(g^{-1}A).$ Tapi $H$ bertindak sepele $W(M)^H,$ jadi sebenarnya $G/H$ bertindak $W(M)^H.$ Sejak $G/H$ setuju ada $G$ukuran varian $\xi$ di $W(M)^H.$
Ini adalah ukuran probabilitas pada ruang ukuran probabilitas. Untuk mendapatkan ukuran pada ruang asli$M,$kita membutuhkan integrasi tindakan. Atau dengan kata lain perbanyakan dari Kantorovich monad . Menetapkan$E\xi\in W(M)$ oleh $(E\xi)(A)=\int p(A)d\xi(p)$ untuk setiap Borel $A.$ Itu $G$-invarians dari $\xi$ menyiratkan $G$-invarians dari $E\xi$: $$(gE\xi)(A)=\int (gp)(A)d\xi(p)=(E\xi)(A).$$
Terakhir, saya ingin menyebutkan bahwa argumen yang sama berhasil jika Anda menjatuhkan kondisi metrizabilitas di mana-mana. Adanya ukuran probabilitas invarian untuk setiap$G$-aksi di ruang Hausdorff yang padat adalah salah satu dari sedikit definisi persetujuan yang menggeneralisasi berguna untuk kelompok kompak non-lokal.
Saya pikir, kesetaraan definisi Navas dan pengertian standar tentang amenablitas disebut teorema Bogolyubov-Dey. Anda dapat menemukannya di banyak tempat, lihat misalnya Proposisi 3.6 in
Grigorchuk, Rostislav; de la Harpe, Pierre , Amenability and ergodic properties of topological groups: dari Bogolyubov dan seterusnya , Ceccherini-Silberstein, Tullio (ed.) et al., Groups, graphs and random walk. Makalah terpilih dari lokakarya, Cortona, Italia, 2–6 Juni 2014 dalam rangka ulang tahun ke-60 Wolfgang Woess. Cambridge: Cambridge University Press (ISBN 978-1-316-60440-3 / pbk; 978-1-316-57657-1 / ebook). Catatan Kuliah London Mathematical Society Series 436, 215-249 (2017). ZBL1397.43001 .
(Baca di sini untuk versi gratisnya.) Dengan hasil ini, Anda dapat menggunakan banyak bukti yang tersedia tentang fakta bahwa kelas kelompok yang setuju ditutup di bawah ekstensi, misalnya di sini atau salah satu dari banyak buku lain yang berhubungan dengan kelompok yang setuju.
Edit. Jelas dari konteks buku bahwa Navas mendefinisikan kesesuaian (dan, misalnya, properti T) hanya untuk grup yang dilengkapi dengan topologi diskrit. Sangat disayangkan bahwa dia tidak pernah menyebutkan persetujuan dalam konteks kelompok topologi (dilengkapi dengan topologi non-diskrit), menggunakan definisi yang tidak standar tentang kesesuaian dan tidak memberikan referensi (sejauh yang saya tahu) untuk perlakuan buku teks umum tentang kelompok yang setuju (dan ada adalah beberapa di antaranya, lihat referensi di sini , setidaknya dalam kasus kelompok padat lokal yang mencakup kelompok terpisah).