Perlunya membuktikan hasil tertentu yang jelas dan sepele dalam trigonometri?

Question

Saat ini saya mengerjakan trigonometri tahun kedua sekolah menengah tetapi ini hanya sesuatu yang muncul di pikiran saya.

Gambar di bawah ini menunjukkan segitiga siku-siku $ABC$, dimana $\angle A = \alpha$, $\angle B = \dfrac{\pi}{2}$ atau $90^\circ$.

Sekarang, dalam pengantar trigonometri, fungsi trigonometri suatu sudut didefinisikan sebagai rasio atau sisi segitiga siku-siku. Sebagai contoh :$\sin\alpha = \dfrac{BC}{AC}$.

Dalam buku teks tempat saya belajar trigonometri, berikut adalah isi dari beberapa halaman pertama:

Apa itu trigonometri?

Ini aplikasi di bidang Matematika lain dan di luar Matematika

Definisi fungsi trigonometri (atau rasio)

Contoh dan pertanyaan

Contoh pertama adalah sebagai berikut:

Anda diberikan dua segitiga. Biarkan segitiga itu$XYZ$ dan $PQR$. Kedua segitiga ini adalah segitiga siku-siku.$\angle Y = \angle Q = 90^\circ$. Juga,$\angle X = \angle P$. Biarkan kedua sudut ini sama$\varphi$. Sekarang,$XZ = 5 \text{ units}$, $YZ = 3 \text{ units}$ dan $PR = 10 \text{ units}$. Temukan$QR$.

Solusinya adalah sebagai berikut: $$\sin\varphi = \dfrac{\text{Perpendicular}}{\text{Hypotenuse}} = \dfrac{3}{5} \text{, obtained from } \Delta XYZ$$ $$\text{From }\Delta PQR \text{, } \sin\varphi = \dfrac{QR}{10}$$ $$\therefore \sin\varphi ~ \dfrac{3}{5} = \dfrac{QR}{10} \implies QR = \dfrac{10 \cdot 3}{5} = 6 \text{ units}$$

Saya pikir sebelum ini ,. pernyataan berikut seharusnya dibuktikan:

Rasio trigonometri suatu sudut unik dan tidak bergantung pada segitiga yang dipilih.

Saya tidak berpikir bahwa solusi ini akan valid sebelum membuktikan bahwa sinusnya $\varphi$didapat dari kedua segitiga itu unik. Pernyataan yang saya sebutkan di atas dapat dengan mudah dibuktikan dengan menggunakan kesamaan tetapi yang ingin saya tanyakan dalam pertanyaan ini adalah "Haruskah pernyataan seperti ini, yang dianggap jelas dan sepele dibuktikan sebelum mencoba pertanyaan seperti contoh yang saya berikan dan apakah solusi untuk contoh ini akan dianggap tidak valid jika pernyataan ini belum dibuktikan sebelumnya? "

Terima kasih!

Answer 1

Sebelum Anda memperkenalkan fungsi trigonometri, kelas akan membahas kesesuaian dan kesamaan. Segitiga kongruen memiliki sisi dan sudut yang sama, dan segitiga serupa memiliki sudut yang sama, sedangkan sisi diskalakan oleh faktor yang sama.$>0$. Ketika siswa menerima fakta-fakta ini, tidak ada masalah kesatuan$\sin\alpha$ kapan $0\leq\alpha\leq{\pi\over2}$.

Masalah utama tentu saja adalah ketergantungan "rahasia" antara panjang sisi dan sudut. Ketergantungan ini tidak ditangani oleh geometri euklida aksiomatik.