Pertanyaan tentang ketimpangan pecahan

Question

$a,b$adalah bilangan bulat positif. Membiarkan$\frac{a}{b}$ menjadi pecahan dengan penyebut terkecil yang mungkin $b$ seperti yang $\frac{386}{2019}$ < $\frac{a}{b}$ < $\frac{35}{183}$. Tentukan nilai$a+b$.

---

Saya telah mencoba menyederhanakan ketidaksetaraan, tetapi saya terjebak. Namun, saya tahu itu sebagai$b$ harus menjadi yang terkecil, begitu pula $a$.

Tahu bagaimana saya harus melakukan pertanyaan ini? Terima kasih atas bantuannya.

Answer 1

Mungkin berikut ini akan membantu.

Kita punya $$386b+1\leq2019a$$ dan $$35b\geq183a+1.$$ Kita bisa menyelesaikan persamaannya $35b=183a+1,$ yang memberikan $$(a,b)=(13+35k,68+183k),$$ dimana $k\geq0$ adalah bilangan bulat, yang memberikan pecahan $\frac{13}{68}.$

Mudah dilihat $\frac{13}{68}$ tidak valid.

Sekarang, kita bisa ambil $k=1$, $k=2$, ...

Juga, kita bisa menyelesaikan persamaannya $386b+1=2019a,$ yang memberikan $$(a,b)=(373+386k,1951+2019k),$$ dimana $k\geq0$ adalah bilangan bulat.

Mudah dilihat $\frac{373}{1951}$ adalah benar.

Saya mendapatkannya di kasus pertama $k=1$ valid, yang memberi $\frac{48}{251}.$

Answer 2

The fraksi terus dari$386/2019$ aku s $[0; 5, 4, 2, 1, 29]$.

The fraksi terus dari$35/183$ aku s $[0; 5, 4, 2, 1, 2]$.

Jadi pecahan paling sederhana yang terletak di antara angka-angka ini adalah pecahan lanjutan $$[0; 5, 4, 2, 1, 3]=\dfrac{48}{251}$$