Properti pusat segitiga

Question

$M$ adalah persimpangan 3 cevians di segitiga $ABC$.

$$AB_1 = x,\quad CA_1 = y,\quad BC_1= z.$$

Dapat dengan mudah dibuktikan bahwa untuk poin Nagel dan Gergonne , persamaan berikut ini benar:$$S = xyz / r,$$ dimana $S$ adalah luas segitiga $ABC$ dan $r$ adalah jari-jari lingkaran yang tertulis.

Saya bertanya-tanya pusat segitiga lain apa yang mungkin memiliki sifat yang sama dan apa tempat geometrisnya?

Juga, harap dicatat bahwa untuk kasus di mana titik $M$ adalah centroid rumusnya terlihat sebagai berikut: $S = 2xyz/R$, dimana $R$adalah jari-jari lingkaran sirkit. Pengganti$x = b/2$, $y = a/2$, $z = c/2$ mengembalikannya ke klasik $S = abc/4R$. Mungkin, beberapa pusat segitiga lain mungkin ada, sehingga persamaan ini$S = 2xyz/R$juga berlaku untuk mereka. Saya ingin tahu dalam hubungan khusus apa poin-poin hipotetis ini dengan pusat massa$ABC$?

Answer 1

Ini hanya coda untuk komentar di atas tetapi terlalu panjang untuk sebuah komentar. Jika$M$ memiliki koordinat barycentric $(\lambda,\mu,\nu)$ (belum tentu positif dan dinormalisasi sehingga $\lambda+\mu+\nu=1$), maka kedua kondisi tersebut tereduksi menjadi persamaan kubik bentuk $$ \frac{\lambda\mu\nu}{(\mu+\nu)(\nu+\lambda)(\lambda+\mu)} $$ adalah konstanta yang bergantung pada (bentuk) segitiga dan dapat dengan mudah dihitung secara eksplisit.

Untuk memverifikasi apakah pusat yang diberikan (dengan fungsi pusat $f$ dari Ensiklopedia Pusat Segitiga, dinormalisasi menjadi homogen dengan $f(a,b,c)+f(b,a,c)+f(c,a,b)=1$), seharusnya mudah untuk menulis program kecil, misalnya di Mathematica, untuk memeriksanya di tempat.

Answer 2

GeoGebra menemukan X (7) X (8) X (506) X (507) dan beberapa lagi jika Anda membiarkan persimpangan langit-langit.

PS: bug ditemukan di GeoGebra.
Saya harap ini segera diperbaiki. [Edit: sekarang sudah diperbaiki]