Ruang banach topologi lemah dengan dual terpisah

Question

Membiarkan $B$ menjadi ruang Banach dengan dua terpisah dan membiarkan $(f_n)$ menjadi padat dan dapat dihitung $B^*$. Membiarkan$\tilde{\tau}$ menjadi topologi awal yang terkait dengan koleksi peta $f_n : B\rightarrow \mathbb{R}$.

Pertanyaan saya : adalah$\tilde{\tau}$ topologi lemah standar aktif $B$?

Upaya saya :

Membiarkan $\tau$ menunjukkan topologi lemah pada $B$. Jelas,$\tau$ membuat semua $f_n$terus menerus. Makhluk$\tilde{\tau}$ yang terkecil melakukannya, $$\tilde{\tau}\subseteq \tau.$$

Sebaliknya, saya mencoba bernalar dengan dasar topologi seperti itu. Perbaiki sewenang-wenang$x_0 \in B$, $\epsilon >0$ dan $g_1,...,g_N \in B^*$ dan ingat itu $U_{x_0}(\epsilon,g_1,...,g_N):= \{x \in B \colon |g_i(x-x_0)|< \epsilon, \ i=1,...,N\}$ adalah lingkungan terbuka $x_0$ di $\tau$. Sebagai kesimpulan, cukup menunjukkan bahwa ada lingkungan terbuka$\tilde{U}$ dari $x_0$ di $\tilde{\tau}$ yang seperti itu $\tilde{U}\subset U_{x_0}(\epsilon,g_1,...,g_N)$.

Tebakan saya adalah membayar beberapa $\tilde{\epsilon}$ dalam membutuhkan $f_{n_i} \approx g_i$ untuk semua $i=1,..,N$ dan definisikan $\tilde{U}:= U_{x_0}(\tilde{\epsilon},f_{n_1},...,f_{n_N})$, tapi saya kesulitan untuk membatasi istilah $|f_{n_i}(x)-g_i(x)|$ seragam $x$.

Answer 1

Jika $(f_n)$ seharusnya padat dalam norma $B^{*}$maka ini cukup mudah. Membiarkan$f \in B^{*}$. Terdapat$n_1<n_2<...$ seperti yang $\|f_{n_i}-f\| \to 0$. Ini menyiratkan itu$f_{n_i} \to f$ seragam pada setiap bola masuk $B$. Sejak masing-masing$f_{n_i}$ adalah wrt berkelanjutan $\overline {\tau}$ itu mengikuti itu $f$ juga wrt kontinyu $\overline {\tau}$. Jadi setiap$f \in B^{*}$ adalah wrt berkelanjutan $\overline {\tau}$. Karenanya$\tau \subset \overline {\tau}$.