Sebuah pertanyaan tentang ruang metrik didefinisikan pada $\mathbb{Q}$.
Mempertimbangkan $\mathbb{Q}$menjadi himpunan semua bilangan rasional. Didefinisikan$d(p,q)=|p-q| $. Lalu manakah dari pernyataan berikut yang benar?
$\{q \in \mathbb{Q} : 2<q^2<3\}$ ditutup.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$ ditutup.
$\{q \in \mathbb{Q} : 2 \leq q^2 \leq 4\}$ kompak.
$\{q \in \mathbb{Q} : q^2 \geq 1\}$ kompak.
Jadi saya memikirkannya, di mana opsi 4. tidak benar karena ini tidak dibatasi. Jadi, tidak kompak mengikuti dari ketidakterbatasan. Jadi jika kita dapat menunjukkan bahwa di sini set di 4. Dan saya pikir tidak ada 1. ditutup, karena pelengkap itu$\mathbb{Q}$ menyatukan beberapa set terbuka $\mathbb{R}$.
Untuk pernyataan lain kita dapat menggunakan kriteria umum bahwa "Suatu ruang metrik kompak jika lengkap dan dibatasi total". Tapi saya butuh bantuan untuk melakukan ini.
Jawaban
Kita dapat menulis 1. sebagai $\left((\sqrt{2}, \sqrt{3}) \cup (-\sqrt{3}, -\sqrt{2})\right) \cap \mathbb{Q}$ yang merupakan himpunan terbuka nyata (interval terbuka terbuka) berpotongan dengan $\Bbb Q$, sehingga set tersebut terbuka $\Bbb Q$. Itu juga ditutup$\Bbb Q$ karena kita juga bisa menulisnya sebagai $\left([\sqrt{2}, \sqrt{3}] \cup [-\sqrt{3}, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$, yang ditutup karena alasan serupa.
2 ditutup karena kita dapat menulisnya sebagai $\left([\sqrt{2}, 2] \cup [-2, -\sqrt{2}]\right) \cap \mathbb{Q}$ dan sebagai elemennya $2$bukan bagian dalamnya, itu tidak terbuka.
Himpunan di bawah 3 sama saja dengan di bawah 2 jadi memang ditutup, seperti yang kita lihat, jadi bisa kompak, karena juga dibatasi. Tapi nyatanya tidak, karena kita bisa memilih yang irasional$p$ "dalam" set (katakanlah $\sqrt{3}$ akan dilakukan) dan menemukan urutan rasional $q_n$ di himpunan yang menyatu dengan $p$ di real (ini selalu bisa dilakukan). Tapi kemudian urutannya$(q_n)_n$ adalah Cauchy (bagaimanapun juga itu konvergen di real) tetapi tidak konvergen di $\Bbb Q$(sebagai satu-satunya titik yang dapat menyatu tidak terletak di set). Jadi himpunannya tidak kompak. Alasan yang lebih dalam mengapa itu tidak kompak (yang mungkin belum Anda bahas) adalah bahwa himpunan hitung kompak dalam ruang metrik harus memiliki titik terisolasi, dan himpunan ini tidak memilikinya. Tetapi ketidaklengkapan (atau fakta terkait bahwa kita memiliki urutan tanpa urutan konvergen) dapat digunakan untuk menyangkal kekompakan pada tingkat yang lebih mendasar.
Untuk 4, di semua ruang metrik kita tahu bahwa "$A$ kompak $\implies$ $A$tertutup dan dibatasi; Heine-Borel adalah implikasi terbalik yang berlaku di himpunan bagian$\Bbb R^n$dalam metrik Euclidean. "Kekuatan" itu adalah dengan cepat membuktikan kekompakan. Tetapi implikasi yang selalu valid dapat digunakan untuk dengan mudah menyangkal kekompakan, dan 4 adalah contoh: tidak dibatasi sehingga non-kompak adalah deduksi yang valid dalam ruang metrik apa pun.
Satu set $A$ dalam ruang metrik kompak jika setiap urutan masuk $A$ memiliki urutan konvergen yang batasnya dimiliki $A$. Urutannya$\{1,2,3,..\}$ adalah urutan dalam himpunan tertentu yang tidak memiliki urutan konvergen sehingga himpunan di 4) tidak kompak.
Alternatifnya, Anda dapat menggunakan fakta itu $\{q \in \mathbb Q: -n <q <n\}, n=1,2...$ adalah penutup terbuka dari himpunan tanpa penutup sub terbatas.