Set Borel versus set Baire

Aug 16 2020

(1) Misalkan saya memiliki ruang Hausdorff yang padat $X$dengan basis yang dapat dihitung. Mengapa aljabar Borel$\mathcal{B}(X)$ (itu $\sigma$-bidang yang dihasilkan oleh set terbuka) dan aljabar Baire $\mathcal{B}a(X)$ (itu $\sigma$-bidang dihasilkan oleh kompak $G_\delta$set) sama? Di mana saya dapat menemukan buktinya?

(2) Misalkan sekarang $X$memiliki basis yang tak terhitung. Dalam hal itu,$\mathcal{B}(X)$ dan $\mathcal{B}a(X)$tidak sesuai lagi, dan saya tahu bahwa mengingat set Baire menghindari beberapa patologi set Borel. Apa patologi itu? Juga, apa contoh set Borel yang bukan Baire?

Jawaban

3 HennoBrandsma Aug 16 2020 at 11:02

Untuk melihat dalam kasus pertama bahwa set Baire dan set Borel bertepatan, cukup untuk dicatat bahwa set pembangkit untuk set Baire (kompak $G_\delta$) selalu Borel (kompak berarti tertutup di ruang Hausdorff) sehingga Baire $\subseteq$Borel dengan mudah. Dan jika$O$ terbuka kita bisa menulisnya sebagai persatuan yang dapat dihitung dari kompak $G_\delta$ set, jadi semua set terbuka ada di Baire $\sigma$-field, jadi semua set Borel juga. (Kedua Hausdorff kompak menyiratkan normal normal dll.)

Untuk mengetahui apa yang mungkin salah secara lebih umum, lihat $X=\omega_1 + 1$yang merupakan Hausdorff yang kompak tetapi tidak bisa dihitung kedua. Di dalamnya,$\{\omega_1\}$ tertutup (jadi Borel) tetapi tidak Baire (Halmos membuktikan dalam Teori Pengukurannya bahwa himpunan kompak adalah Baire jika itu adalah $G_\delta$dan singleton ini tidak). Pengukuran Dieudonné aktif$X$adalah ukuran Borel yang tidak biasa, tapi ini biasa ketika kita bekerja pada Baire set. Lihat buku Halmos, atau karya ekstensif Fremlin dalam teori ukuran topologi. Mengambil set Baire memberi kita lebih dari cukup set untuk melakukan hal-hal integrasi dll dan memberikan ukuran berperilaku yang lebih baik dalam hal properti keteraturan.