Setiap peta kontinu adalah homotopik dengan asumsi nilai tetap pada banyak titik terhingga

Aug 17 2020

Membiarkan $X$ dan $Y$menjadi ruang topologi. Menganggap$X$dapat dikontraskan secara lokal dan tidak memiliki bagian terbatas yang padat. Menganggap$Y$ terhubung dengan jalur.

Diberikan $n$ pasang poin $(x_i, y_i)$ dimana $x_i\in X$ dan $y_i\in Y$ untuk $1\leq i\leq n$ dan peta berkelanjutan $f:X\to Y$ dapatkah kita menemukan peta kontinu $g:X\to Y$ homotopic ke $f$ seperti yang $g(x_i)=y_i$?

Jawaban

13 TylerLawson Aug 17 2020 at 21:29

Membiarkan $X$ menjadi garis nyata dengan asal berlipat ganda dan $Y$ menjadi $\Bbb R$, dan biarkan $f$ menjadi peta proyeksi yang meruntuhkan dua asal $0^+$ dan $0^-$ untuk $0$. Lalu peta apapun$g: X \to Y$ memuaskan $g(0^+) = g(0^-)$ karena $\Bbb R$adalah Hausdorff. Karena itu,$f$ tidak homotopic ke peta mana pun yang mengirimkan dua titik ini ke titik yang berbeda.

Pertanyaan Anda terkait erat dengan inklusi $\{x_1,\dots,x_n\} \subset X$memiliki properti ekstensi homotopi. Secara khusus, jika itu adalah penyertaan retraksi deformasi lingkungan, maka homotopi semacam itu ada. Dalam contoh di atas, setiap titik secara individual memiliki lingkungan yang dapat dikontrak tetapi dua asal yang sama tidak memiliki lingkungan yang menarik kembali ke mereka.