Subset ringkas dan cembung apa pun dari $\mathbb{R}^n$ adalah retraksi deformasi $\mathbb{R}^n$

Dec 01 2020

Saya melihat pertanyaan dari Bab 32 dari Topologi Umum Willard :

Subset ringkas dan cembung apa pun dari $\mathbb{R}^n$ adalah retraksi deformasi $\mathbb{R}^n$

Saya berjuang untuk mengetahui di mana harus memulai latihan ini, karena saya tidak memiliki intuisi tentang mengapa kekompakan terkait dengan (deformasi) retraksi.

Saya rasa saya perlu menggunakan fakta / definisi berikut:

  1. Membiarkan $X := \mathbb{R}^n$. Jika$Y \subseteq X$ adalah cembung, lalu apa saja $f,g \in C(X,Y)$ bersifat homotopik.
  2. Sebuah subset $A \subseteq X$ adalah pencabutan $X$ jika $\exists r \in C(X,A)$ seperti yang $r(a) = a,$ untuk setiap $a \in A$. Ini adalah retraksi deformasi$X$ jika $r$ adalah homotopic (sebagai peta ke $X$) ke $1_X$ (fungsi identitas aktif $X$).
  3. Sebuah subset $E \subseteq X$ kompak jika setiap sampul $E$ dengan set terbuka $X$memiliki subcover yang terbatas. (Sunting: menurut komentar, saya mungkin ingin menggunakan fakta bahwa setiap subset kompak dari$\mathbb{R}^n$ ditutup dan dibatasi, sebagai gantinya).

Bantuan apa pun, termasuk petunjuk tentang bagaimana memulai mendekati pertanyaan ini, sangat kami hargai.


Sunting: Berdasarkan komentar, saya mencoba untuk menunjukkan bahwa disk unit tertutup$D = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 + y^2 \leq 1\}$ adalah retraksi deformasi $\mathbb{R}^2$. Saya pikir saya telah menunjukkannya di bawah, tetapi saya tidak menemukan ini secara khusus menerangi, jadi saya bertanya-tanya apakah saya telah melewatkan sesuatu atau mungkin "bukti" saya tentang ini tidak benar.

$D$ adalah bagian yang ringkas dan cembung dari $\mathbb{R}^2$ dan fungsinya $r: \mathbb{R}^2 \to D$ diberikan oleh:

$r((x,y)) = \left\{ \begin{array}{ll} (x,y) & \quad x^2+y^2 < 1 \\ \big(\frac{x}{x^2 + y^2},\frac{y}{x^2+y^2}\big) & \quad x^2+y^2 \geq 1 \end{array} \right.$

adalah pencabutan, sebagai $r(d) = d$ untuk setiap $d \in D$dan itu terus menerus. Memang,$D$adalah retraksi deformasi; jika kita melihat$r$ sebagai peta dari $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, kami melihat bahwa itu adalah fungsi berkelanjutan dari $\mathbb{R}^2$ menjadi bagian cembung (jelas $\mathbb{R}^2$ adalah bagian cembung dari dirinya sendiri) dan oleh Fakta 1 di atas, fungsi berkelanjutan apa pun, termasuk fungsi identitas $1_{\mathbb{R}^2}$, adalah homotopic terhadap $r$.

Setiap umpan balik tentang upaya pertama ini akan dihargai, karena saya benar-benar tidak melihat bagaimana ini menjelaskan situasi yang lebih umum.

Jawaban

3 PaulFrost Dec 02 2020 at 07:55

Kami akan menggeneralisasi ini dengan membuktikan itu

Subset cembung tertutup apa pun dari $\mathbb R^n$ adalah retraksi deformasi yang kuat $\mathbb R^n$.

Membiarkan $C$ menjadi bagian cembung tertutup dari $\mathbb R^n$. Untuk setiap$x \notin C$ kita punya $$d(x,C) = \inf\{\lVert x - y \rVert : y \in C \} > 0 ,$$ karena jika tidak kita akan menemukan urutannya $(y_n)$ di $C$ seperti yang $y_n \to x$. Tapi kemudian kita akan melakukannya$x \in C$ sejak $C$ ditutup.

Perhatikan bahwa definisi $d(x,C)$didasarkan pada norma Euclidean . Ini akan menjadi penting untuk bukti kami. Lihat komentar di bawah.

Ada disana $y \in C$ seperti yang $\lVert x - y \rVert = d(x,C)$. Bahkan, biarkan$y_n \in C$ seperti yang $\lVert x - y_n \rVert < d(x,C) + 1/n$. Urutan ini dibatasi oleh$\lVert x \rVert + d(x,C) + 1$, sehingga memiliki urutan konvergen, jadi kita dapat mengasumsikan wlog itu $(y_n)$ menyatu dengan beberapa $y \in \mathbb R^n$. Sejak$C$ ditutup, kami punya $y \in C$ dan $\lVert x - y \rVert = d(x,C)$.

Kami mengklaim itu $y$ unik karena $C$adalah cembung. Jadi asumsikan itu$y' \in C$ adalah titik $y' \ne y$ seperti yang $\lVert x - y \rVert = \lVert x - y' \rVert$. Intinya$x, y, y'$ span bidang affine Euclidean $E^2 \subset \mathbb R^n$dan membentuk segitiga sama kaki. Titik tengah$y'' = 1/2 y + 1/2y'$ dari ruas garis antara $y, y'$ terkandung dalam $C$. Intinya$x,y, y''$ membentuk segitiga siku-siku, dengan demikian $\lVert x - y \rVert^2 = \lVert x - y'' \rVert^2 + \lVert y - y'' \rVert^2$ yang memberikan $\lVert x - y \rVert > \lVert x - y'' \rVert$, sebuah kontradiksi.

Catatan: Seperti yang ditunjukkan dalam komentar oleh copper.hat, kami menggunakan properti khusus dari norma Euclidean$\lVert - \rVert$: Ini benar-benar cembung, yang berarti setiap bola tertutup $B$ adalah himpunan yang sangat cembung dalam arti bahwa setiap titik pada ruas garis menghubungkan dua titik $x, y \in B$ selain titik akhir ada di dalam interior $B$. Saya membuktikan kasus khusus ini (untuk titik tengah segmen garis) menggunakan teorema Pythagoras. Perhatikan bahwa norma lain mungkin tidak memiliki properti ini.

Menetapkan $$r : \mathbb R^n \to C, r(x) = \begin{cases} x & x \in C \\ \text{unique } y \in C \text{ such that } \lVert x - y \rVert = d(x,C) & x \notin C \end{cases}$$

Mari kita buktikan $r$ kontinu (yaitu $r$adalah pencabutan). Kontinuitas terlihat jelas di semua titik interior$C$.

Sekarang mari kita pertimbangkan sebuah titik batas $\xi$ dari $C$. Membiarkan$\epsilon > 0$ dan $x \in \mathbb R^n$ seperti yang $\lVert x - \xi \rVert < \epsilon/2$. Kami mengklaim itu$\lVert r(x) - r(\xi) \rVert = \lVert r(x) - \xi \rVert < \epsilon$. Ini sepele untuk$x \in C$. Untuk$x \notin C$ kita punya $\lVert r(x) - \xi \rVert \le \lVert r(x) - x \rVert + \lVert x - \xi \rVert = d(x,C) + \lVert x - \xi \rVert \le 2 \lVert x - \xi \rVert < \epsilon$.

Mari kita akhirnya mempertimbangkan satu hal $\xi \notin C$. Dalam sekuelnya, menggambar gambar akan berguna untuk memahami secara geometris apa yang sedang terjadi.

Kami mulai dengan persiapan. Membiarkan$P^{n-1}(x)$ menunjukkan hyperplane affine yang berisi $r(x)$ dan ortogonal ke jalur tembus $x$ dan $r(x)$ (yaitu $P^{n-1}(x) = \{r(x) + y : \langle y, x - r(x) \rangle = 0\}$ , dimana $\langle -, - \rangle$menunjukkan produk dalam standar). Ini adalah bidang hiper tangen bola$S^{n-1}(x;d(x,C))$ dengan pusat $x$ dan radius $d(x,C)$ pada intinya $r(x)$. $P^{n-1}(x)$ membagi $\mathbb R^n$di dua ruang setengah terbuka. Membiarkan$H^n(x)$ menunjukkan setengah ruang terbuka yang berisi $x$ (yaitu $H^n(x) = \{r(x) + y : \langle y, x - r(x) \rangle > 0\}$). Kami mengklaim itu$H^n(x) \cap C = \emptyset$. Asumsikan ada$y \in H^n(x) \cap C$. Intinya$x, r(x), y$ terkandung dalam bidang Euclidean affine $E^2 \subset \mathbb R^n$ (jika $y$ terletak di jalur tembus $x$ dan $r(x)$, kemudian $E^2$adalah tidak unik , tapi itu tidak masalah). Set$S' = E^2 \cap S^{n-1}(x;d(x,C))$ adalah lingkaran di $E^2$, dan $L = E^2 \cap P(x)$ adalah garis singgung ke $S'$ di $r(x)$. Lingkaran$S'$ membatasi disk yang terbuka $D^2(x,d(x,C)) \subset E^2$ dengan pusat $x$ dan radius $d(x,C)$. Jelas$y \notin D^2(x,d(x,C))$ karena sebaliknya $d(x,C) \le \lVert y - x \rVert < d(x,C)$. Garis$L(y)$ melalui $y$ dan $r(x)$ berbeda dengan $L$, jadi $D^2(x,d(x,C)) \cap L(y)$tidak kosong. Membiarkan$y' \in D^2(x,d(x,C)) \cap L(y)$. Sejak$y \notin D^2(x,d(x,C))$, inti nya $y'$ berada diantara $y$ dan $r(x)$, jadi $y' \in C$ karena $C$adalah cembung. Karena itu$d(x,C) \le d(x,y') < d(x,C)$, sebuah kontradiksi.

Sekarang biarkan $ 0 < \epsilon \le d(x,C)$ dan $x \in \mathbb R^n$ seperti yang $\lVert x - \xi \rVert < \epsilon/2$. Perhatikan bahwa ini menjamin$x \in H^n(\xi)$. Kami mengklaim itu$\lVert r(x) - r(\xi) \rVert < \epsilon$. Membiarkan$\rho(x) \in P^{n-1}(\xi)$ menjadi titik unik seperti garis itu $L_x$ melalui $x$ dan $\rho(x)$ adalah ortogonal $P^{n-1}(\xi)$. Kita punya$\lVert \rho(x) - r(\xi) \rVert < \epsilon/2$: Perhatikan bahwa di segiempat dengan simpul $\xi, x, r(\xi), \rho(x)$ (yang menjangkau bidang Euclidean affine $E^2 \subset \mathbb R^n$) tepinya $\overline{\xi r(\xi)}$ dan $\overline{x \rho(x)}$ sejajar dengan jarak $\lVert \rho(x) - r(\xi) \rVert$, jadi $\lVert \rho(x) - r(\xi) \rVert \le$ panjang tepi $\overline{x \xi}$ yang mana $\lVert x - \xi \rVert < \epsilon/2$. Kita punya$d(x,C) \le d(x,r(\xi))$, jadi $r(x)$ terkandung di dalam bola tertutup $\bar D^n(x,d(x,r(\xi))) \subset \mathbb R^n$ dengan pusat $x$ dan radius $d(x,r(\xi))$. Sejak$H^n(\xi) \cap C = \emptyset$, kita harus punya $r(x) \in D' = \bar D^n(x,d(x,r(\xi))) \cap G^n(\xi)$, dimana $G^n(\xi) = \mathbb R^n \setminus H^n(\xi)$ adalah ruang setengah tertutup yang dibatasi oleh $H^{n-1}(\xi)$ dan tidak mengandung $\xi$. Persimpangan$D'' = \bar D^n(x,d(x,r(\xi))) \cap P^{n-1}(\xi)$ adalah bola tertutup $P^{n-1}(\xi)$ dengan pusat $\rho(x)$ dan radius $R = \lVert \rho(x) - r(\xi) \rVert < \epsilon$. Jadi$D'$ adalah kubah berbentuk bola $\bar D^n(x,d(x,r(\xi)))$ dengan basis $D''$. Diameter$D'$ sama dengan diameter $D''$ yang mana $2R$. Jadi$\lVert r(x) - r(\xi) \rVert \le 2R < \epsilon$.

$r$sebenarnya adalah retraksi deformasi yang kuat. Melihat$$H: \mathbb R^n \times I \to \mathbb R^n, H(x,t) = (1-t)x + tr(x) .$$