Temukan konstanta terbaik dalam soal analisis kompleks ini

Question

Saya menemukan masalah yang memberi saya masalah dan cukup menarik tetapi saya tidak dapat melakukannya. Ini dia.

Membiarkan $(z_1, z_2, ... z_n)\in \mathbb{C^n}$, $J \subset$ {$1,2,..n$} untuk $\forall n \in \mathbb{N}$ dan $ S_J := |\sum_{j \in J}z_j$|
Jelas$S_J\leq \sum_{j\in J}|z_j|\leq \sum_{j=1}^{n}|z_j|:=S$

Untuk $n=2$, buktikan bahwa ada $J$, seperti yang $S_J\geq aS$ dan $a\in \mathbb{R}$. Buktikan itu$a=\frac{1}{2}$adalah konstanta terbaik.
Untuk$n=3$, buktikan bahwa ada $J$, seperti yang $S_J\geq bS$ dan $b\in \mathbb{R}$. Buktikan itu$b=\frac{1}{3}$adalah konstanta terbaik.
Apa konstanta terbaik jika$n\geq 4$ ?

Answer 1

Anda ingin menulis $\left|\sum_{j \in J} z_j\right|$ sebagai $S_J$tidak $S_j$: $j$ hanyalah "indeks tiruan".

Untuk $n=2$, $S_{\{1\}} + S_{\{2\}} = |s_1| + |s_2| = S$ begitu $\max(S_{\{1\}}, S_{\{2\}}) \ge S/2$. Demikian pula untuk$n=3$, $\max(S_{\{1\}}, S_{\{2\}}, S_{\{3\}}) \ge S/3$, dan secara umum $\max(S_{\{1\}}, \ldots, S_{\{n\}}) \ge S/n$.

Untuk melihatnya $a = 1/2$ adalah konstanta terbaik untuk $n=2$, kamu bisa ambil $z_1 = 1$ dan $z_2 = -1$. Untuk melihatnya$a=1/3$ adalah yang terbaik untuk $n=3$, kamu bisa ambil $z_1, z_2, z_3$ tiga akar kubus $1$.

Saya tidak tahu konstanta terbaik kapan $n > 3$.

EDIT: lihat ini