Tentang mengekspresikan aljabar seperti produk tensor sebagai produk bidang kartesius

Question

Saya menangani pertanyaan ini dalam kursus Pengantar Teori Galois:

Manakah dari aljabar berikut yang merupakan bidang? Produk bidang? Jelaskan bidang ini.

1. $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) \space \otimes_{\mathbb{Q}} \space \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $
2. $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}) \space \otimes_{\mathbb{Q}} \space \mathbb{Q}(\sqrt{2}) $
3. $\mathbb{F}_2(\sqrt{T}) \space \otimes_{\mathbb{F}_2(T)} \mathbb{F}_2(\sqrt{T}) $
4. $\mathbb{F}_4(\sqrt[3]{T}) \space \otimes_{\mathbb{F}_4(T)} \mathbb{F}_4(\sqrt[3]{T}) $

Memperjelas pertanyaan yang mungkin saya katakan:

$.\otimes_{A}.$ adalah notasi yang digunakan untuk produk Tensor dari dua aljabar atau modul di atas ring A.

Produk Tensor didefinisikan dengan properti universal dalam kursus saya.

$\mathbb{F}_2$ dan $\mathbb{F_4}$ menunjukkan $\mathbb{Z}_2$ dan $\mathbb{Z}_4$ masing-masing.

Kemajuanku:

Saya tahu bahwa setiap aljabar berhingga memiliki banyak cita-cita maksimal yang tak terhingga.

Mengatakan $m_1,...,m_k$ menjadi cita-cita maksimal dari aljabar kami yang terbatas A. Kemudian $A \cong \frac{A}{m_1^{n_1}}\times ...\times \frac{A}{m_r^{n_r}}$ untuk beberapa $n_i\in\mathbb{N}$.

Oleh karena itu jika $\space $$\ forall i \ space; n_i = 1 $ , maka A adalah hasil kali dari field.

Juga ada beberapa teorema bermanfaat yang saya rujuk, dalam dokumen jawaban saya, yang ditautkan di bawah dalam jawaban saya untuk masalah ini.

Saya telah menulis semua jawaban mendetail saya di dokumen berikut, tetapi saya tidak begitu yakin tentangnya (Khususnya tentang bagian 3 dan 4).

Klik di sini untuk mencapai tautan dokumen Google.

Setelah Anda melihat jawaban saya, saya ingin menambahkan yang berikut ini:

Di bagian 3, saya telah menunjukkan dalam jawaban saya bahwa:

$ \ mathbb {F} _2 (\ sqrt {T}) \ space \ otimes _ {\ mathbb {F} _2 (T)} \ mathbb {F} _2 (\ sqrt {T}) \ cong \ frac {\ mathbb { F} _2 (\ sqrt {T}) [U]} {(U- \ sqrt {T}) ^ 2} $ di mana $ U $ adalah variabel. Jadi ini bukan bidang karena adanya nilpoten elemen seperti $ U- \ sqrt {T} $ . Tapi saya tidak bisa menunjukkan apakah itu bisa menjadi produk ladang atau tidak?

Juga Di bagian 4, saya telah menunjukkan dalam jawaban saya bahwa:

$ \ mathbb {F} _4 (\ sqrt [3] {T}) \ space \ otimes _ {\ mathbb {F} _4 (T)} \ mathbb {F} _4 (\ sqrt [3] {T}) \ cong \ frac {\ mathbb {F} _4 (\ sqrt [3] {T}) [U]} {U ^ 3-T} $

Tapi sekarang saya sudah buntu dan tidak bisa berkata lagi tentang produk sawah.

Bantuan apa pun yang mengarah ke kemajuan akan sangat dihargai.

Answer 1

Untuk 3, seperti yang Anda katakan Anda memiliki elemen nilpoten dalam hasil kali tensor. Ini tidak dapat terjadi di produk bidang. Jika kita punya$R=F_1\times\cdots\times F_n$, produk ladang, dan $(a_1,\ldots,a_n)^2$ adalah nol $R$ kemudian $a_i^2=0$ di setiap $F_i$ yang seperti itu $a_i=0$ (sebagai $F_i$adalah lapangan). Dalam contoh ini, maka hasil kali tensor bukan merupakan hasil kali bidang.

Untuk ekstensi lapangan $F_1/F$, $F_2/F$ kemudian produk tensor $F_1\otimes_F F_2$ hanya bisa gagal menjadi produk bidang jika keduanya $F_1/F$ dan $F_2/F$ adalah ekstensi yang tidak dapat dipisahkan, dan itulah yang terjadi di sini.

Namun dalam kasus 4, Anda memiliki ekstensi yang dapat dipisahkan. Memang$F_1/F$ adalah ekstensi Kummer di sini sebagai $F=\Bbb F_4(T)$ memiliki tiga akar kubus kesatuan: $1$, $\omega$ dan $\omega^2$. Kemudian$$F_1\otimes _F F_1\cong F_1\times F_1\times F_1$$ melalui $$a\times b\mapsto (ab,a\sigma(b),a\sigma^2(b))$$ dimana $\sigma:F_1\to F_1$ adalah pengambilan automorfisme $\sqrt[3]T$ untuk $\omega\sqrt[3]T$.