Teorema pemetaan terbuka bisa gagal jika codomain bukan Banach

Question

Berikan contoh ruang Banach $V$, ruang bernorma $W$, peta dugaan linier berbatas $T: V \to W$ dan subset terbuka $G \subseteq V$ seperti yang $T(G)$ tidak terbuka $W$.

Percobaan : Pertimbangkan$V= (C([0,1], \Vert \cdot \Vert_\infty), W= (C([0,1], \Vert \cdot \Vert_1)$ dan $T: V \to V: f \mapsto f$. Jelas$T$ adalah lonjakan linier dengan $$\Vert Tf \Vert_1 = \int_0^1 |f| \le \int_0^1 \Vert f \Vert_\infty = \Vert f \Vert_\infty$$

begitu $\Vert T \Vert \leq 1$ dan $T$terikat. Apalagi kita punya$\Vert f \Vert_1 \leq \Vert f \Vert_\infty$.

Kami sekarang menunjukkan itu $G= B_\infty(0,1)$ tidak terbuka untuk $\Vert \cdot \Vert_1$. Memang, anggap saja sebaliknya$0$ adalah $\Vert \cdot \Vert_1$titik interior dari $G$. Lalu ada$\epsilon > 0$ seperti yang

$$B_1(0, \epsilon) \subseteq G = B_\infty(0,1)$$

Jadi, untuk $f \in C([0,1])\setminus \{0\}$ kita punya $$\Vert \frac{\epsilon}{2 \Vert f \Vert_1} f \Vert_\infty \leq 1$$

Yaitu $\Vert f \Vert_\infty \leq \frac{2}{\epsilon} \Vert f \Vert_1$ untuk $f \in C([0,1])$. Tapi kemudian norma$\Vert \cdot \Vert_1$ dan $\Vert \cdot \Vert_\infty$ setara, yang menyiratkan itu $W$adalah Banach. Ini adalah kontradiksi.

Pertanyaan : Apakah upaya saya benar?

Answer 1

Ya, usaha Anda benar.

Kesetaraan norma membutuhkan kedua ketidaksetaraan, jadi ada baiknya untuk menyebutkan itu.

Saya pikir ini juga bisa ditingkatkan dengan menjelaskan alasannya $W$ bukanlah ruang Banach.