Turunan waktu dari pemetaan $t \mapsto P_tf(x)=\mathbb{E}^x(f(X_t))$ - generator yang sangat kecil

Question

Adakah yang bisa menjelaskan persamaan $1$ di dalam https://math.stackexchange.com/a/697412/767953dalam bentuk yang lebih sederhana? Juga saya tidak bisa mengerti bagaimana dari persamaan$1$ kita bisa melihat itu $u$ adalah solusi persamaan panas.

Answer 1

Petunjuk

\ begin {align} \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} P_tf (x) & = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {P_ {t + h} f (x) -P_tf (x)} {h} \\ & = \ lim_ {h \ to 0} P_t \ left (\ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ right) \\ & = P_t \ left (\ lim_ {h \ ke 0} \ frac {P_hf (x) -f (x)} {h} \ kanan) \\ & = P_tAf (x) \\ & = AP_tf (x). \ end {align} Saya membiarkan Anda membenarkan setiap persamaan sebagai pekerjaan rumah. Untuk pertanyaan Anda yang lain, orang dapat membuktikan bahwa generator yang sangat kecil dari gerakan Brown jika diberikan oleh$$Af(x)=\frac{1}{2}\Delta f(x).$$ Lakukan sebagai pekerjaan rumah jika ini tidak jelas bagi Anda.