Ukuran risiko cembung varians

Question

Saya harap Anda dapat membantu saya dengan pertanyaan ini yang benar-benar saya perjuangkan. Apakah varians ukuran risiko cembung? Saya kira tidak, tetapi saya merasa sangat sulit untuk menemukan contoh tandingan.

Berikut adalah pikiran saya. Saya mencoba menemukan contoh di mana:$var(\lambda X+(1-\lambda)Y))>\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$. saya tahu itu$var(\lambda X+(1-\lambda) Y)= \lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)cov(X,Y)$ $=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)$.

Sekarang, jika korelasinya maksimal, dalam hal ini$corr(X,Y)=1$kemudian:$\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda (1-\lambda)corr(X,Y)sd(X)sd(Y)=\lambda^2var(X)+(1-\lambda)^2var(Y)+2\lambda(1-\lambda)sd(X)sd(Y)=(\lambda sd(X)+(1-\lambda)sd(Y))^2$.

Tetapi saya masih tidak dapat menemukan contoh di mana ini lebih besar dari$\lambda var(X)+(1-\lambda)var(Y)$.

Bisakah Anda memberi saya petunjuk? Saya sangat menghargainya.

Answer 1

Mari kita pertimbangkan kasus korelasi maksimal Anda. Anda mencoba menemukan nilai sedemikian rupa sehingga

$$(\lambda \sigma_x+(1-\lambda)\sigma_y)^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$

atau

$$\lambda^2 \sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)+(1-\lambda)^2\sigma_y^2>\lambda\sigma_ x^2 + (1-\lambda)\sigma_y^2$$

atau

$$\lambda(\lambda-1)\sigma_x^2+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)-\lambda(1-\lambda)\sigma_y^2>0 $$

atau

$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2)+2\sigma_x\sigma_y\lambda(1-\lambda)>0 $$

atau

$$\lambda(\lambda-1)(\sigma_x-\sigma_y)^2>0 $$

yang jelas tidak pernah benar untuk apa pun$0\leq\lambda\leq 1.$Karena LHS paling besar pada kasus korelasi maksimal:

$$Var(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \lambda Var( x)+(1-\lambda)Var(y)$$

dan varians adalah ukuran risiko cembung.