3Dラプラシアン演算子
ラプラシアン演算子の5点ステンシル有限差分に相当するものを見つけることができませんでした。
私にとって2次元では、有限差分法を使用すると、次のことが明らかになります。 $$ \nabla_{2D}^2u = \frac{1}{h^2} \left( u_{1,0} + u_{-1,0} + u_{0,1} + u_{0,-1} -4 u_{0,0} \right) $$ （hはサイズグリッド/ステップです）
しかし、3次元の場合に完全に対称であるかどうかはわかりません。3次元を参照する用語を追加することはできますか？$$ \nabla_{3D}^2u = \frac{1}{h^2} \left( u_{1,0,0} + u_{-1,0,0} + u_{0,1,0} + u_{0,-1,0} + u_{0,0,1} + u_{0,0,-1} -6 u_{0,0,0} \right) $$
3Dラプラシアンのさまざまな精度の項を見つけることができる情報源も役立ちます。
回答
はい、その有限差分は正しいです。各座標のラプラス演算子の各方向の有限差分を使用して取得できます。
\begin{align} \nabla^2 u =& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\\ \approx& \frac{1}{h^2}[u(x + h, y, z) - 2u(x, y, z) + u(x -h, y, z)]\\ &+ \frac{1}{h^2}[u(x, y + h, z) - 2u(x, y, z) + u(x, y - h, z)]\\ &+ \frac{1}{h^2}[u(x, y, z + h) - 2u(x, y, z) + u(x, y, z - h)]\\ =& \frac{1}{h^2}[u(x + h, y, z) + u(x -h, y, z) + u(x, y + h, z) + u(x, y - h, z)\\ &+ u(x, y, z + h) + u(x, y, z - h) - 6u(x, y, z)]\, . \end{align}
または、ステンシル内のポイントを通過する多項式を補間し、そのラプラシアンを計算して、で評価することもできます。 $(x, y, z)$。