与えられた $a,b\in\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ そして $b>\frac{a^4}{a^2+1}$、証明する $b\geq a^2$

Question

とすれば $$ a,b \in \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \}$$ そして $$b> \frac{a^4}{a^2+1}$$ どうすれば証明できますか $b\geq a^2$ 私はのすべての可能な値を探しているので $(a,b)$ （そして私は実際にはいくつかのブルートフォースによってすべてを知っています）？

これまでのところ、元の不等式の正規形に行くことができますこれは

$$b> a^2-1+ \frac{1}{a^2+1}.$$

どんな助けでも大歓迎です:)

PS：私はすでにこれを私が望んでいた方法で解決しました、そして私は私の間違いも見ました。私を助けてくれて、特に@quasiに私の問題を編集してくれたすべての人に感謝します。それは実際にはもっと複雑な確率論的問題の一部なので、私はとても満足しています。私はそれが一種の不公平であることを知っていますが、私は自分自身の解決策にもっと快適であり、それを下に置きます...

Answer 1

矛盾を使いましょう。仮定します$b\leq a^{2}-1$。

$b\leq a^{2}-1$

$b(a^{2}+1)\leq (a^{2}-1)(a^{2}+1)$

$b\leq \frac{a^{4}-1}{a^{2}+1}$

矛盾する $b>\frac{a^{4}}{a^{2}+1}$

Answer 2

コメントに記載されているように、証明することはできません $b > a^2$ ケースのためから $a=b=1$、不等式 $$b > \frac{a^4}{a^2+1}$$ 保持しますが、不平等 $b > a^2$ 失敗します。

しかし証明するために $b\ge a^2$すべての場合に当てはまり、次のように議論することができます。。。\ begin {align *}＆b> \ frac {a ^ 4} {a ^ 2 + 1} \\ [4pt] \ implies \;＆b> \ frac {a ^ 4-1} {a ^ 2 + 1} \\ [4pt] \ implies \;＆b> \ frac {（a ^ 2 + 1）（a ^ 2-1）} {a ^ 2 + 1} \\ [4pt] \ implies \;＆b> a ^ 2-1 \\ [4pt] \ implies \;＆b \ ge（a ^ 2-1）+1 \; \; \; \; \ text {[since$b$ そして $a^2-1$ 両方とも整数です]} \\ [4pt] \ implies \;＆b \ ge a ^ 2 \\ [4pt] \ end {align *}

Answer 3

しましょう $A=\dfrac{a^4}{a^2+1}$。 $$A=\dfrac{a^4}{a^2+1}<\dfrac{a^4}{a^2}=a^2 \text{ and }b>A$$ したがって、あなたはそれを示す必要があります $b\notin (A,a^2)$。

$a^2$ は整数であり、 $a^2-A=a^2-\dfrac{a^4}{a^2+1}=\dfrac{a^2}{a^2+1}<1$。したがって、間隔$(A,a^2)$ 整数を含めることはできません $b\notin (A,a^2)$。そう$b\geq a^2$。

Answer 4

私はついにその方法を理解しました。これが私がそれをした方法です（私はすでに解決する方法を知っているので、私はそれに言葉を入れませんでした）。

$$ b > \frac {a^4}{a^2 +1}$$

$$\frac {a^4}{a^2 +1} = a^2 - 1 + \frac {1}{a^2 +1}$$

$$b > a^2 - 1 + \frac {1}{a^2 +1}$$

$$b > a^2 - 1 + \frac {1}{a^2 +1} > a^2 - 1$$

$$b > a^2 - 1$$

$$b \geq a^2 - 1 +1$$

$$b \geq a^2$$ 。