べき集合が集合であることを示します。
私は次の命題に出くわしました。著者は読者に証明してもらいたいと思っています。
命題1。任意のセットの場合$X$、 $\{A \mid A \subseteq X\}$ セットです。
私の試み（主に著者からのヒントに基づく）：
最初に、本に示されているべき集合公理について説明します（これは、ウィキペディアの記事に書かれているものとは異なるようです）。
べき集合公理。しましょう$X$ そして $Y$セットになります。次に、で示されるセットが存在します$Y^{X}$ 、からのすべての機能で構成されています $X$ に $Y$ 、したがって
$$f \in Y^{X} \iff \text{(f is a function with domain $バツ$ and range Y)}$$
べき集合公理と置換公理を使用して、次の集合を構築できます。
$$S = \{Z \mid Z = f^{-1}(\{1\}) \text{ for some } f \in \{0,1\}^X \}$$
今、私たちはそれを恣意的に示す必要があります $A \in S$、 $A \in S$ iff $A \subseteq X$
$(\rightarrow)$ いくつか取る $A \in S$ いくつか取って $a \in A$。以来$A \in S$、いくつか存在します $f: X \rightarrow Y$ そのような $f^{-1}(\{1\}) = A$。後方画像の定義により、次のように結論付けることができます。$a$ のドメインにあります $f$、 あれは $a \in X$。
$(\leftarrow)$ の任意のサブセットを取る $X$、 いう $A$。定義することができます$f: X \rightarrow Y$ そのような $f(x) = 1$ iff $x \in A$、および $f(x) = 0$そうでなければ。わかります$f \in \{0,1\}^{X}$ そしてそれは本当です $A = f^{-1}(\{1\})$。したがって、$A \in S$。
したがって、 $S = \{A \mid A \subseteq X\}$、つまり $\{A \mid A \subseteq X\}$ セットです。
$\blacksquare$
質問1。
それが正しいか？
質問2。
上記の証明が正しければ、もっと簡潔な代替案はありますか？著者によるヒントを見る前に（つまり、べき集合公理と置換公理を使用する必要があります）、次の引数で十分だと思いました。「集合はオブジェクトのコレクションです。サブセットはオブジェクトです。したがって、のサブセットのコレクション特定のセットはセットです。」
回答
この証明は私にはうまく見えます。それについてのほんの2、3のコメント：
- あなたが読んでいる本のどこかですでに証明されていない限り、私はなぜの要素が $S$ セットなので、 $$f^{-1}(\{1\}) = \big\{ x \in X : f(x) = 1\big\}$$ それぞれのセットです $f \in \{0,1 \}^X$ 分離公理によって。
- の中に $(\to)$ あなたが2つのケースを考慮する必要がある方向、すなわち $A = \varnothing$ そして $A \neq \varnothing$。場合$A = \varnothing$、そして自明に $A \subseteq X$; そうでなければあります$a \in A$ （あなたが言うように）、そして証明の残りは続きます。
コメントで示唆されているように、そのような形式を使用して、任意のセットでそれを証明することのポイント $A$、 $\mathcal P(A)$また、（最初に考えたように議論するのではなく）セットであり、特定のセットのコレクションが非常に「大きい」ため、カンターやブラリフォルティのパラドックス。