ビッグクランチタイム

Question

平らで、物質と宇宙定数を持つ宇宙の場合、フリードマン方程式は次のように書くことができます。

$$\frac{H^{2}}{H^{2}_{0}} = \frac{\Omega_{m,0}}{a^{3}} + (1 - \Omega_{m,0})$$

2番目の項が負の場合（$\Omega_{m,0}>1$）そして、宇宙の最終的な運命は、ビッグクランチで再び崩壊することです！

スケールファクターの最大値を計算できることを理解しています $H^{2}=0$ そして、次の式を持つように、いくつかの代数を使用して上記の方程式をODEとして書き直すことができます。

$$ H_{0}t = \int_{0}^{a} \frac{da}{(\Omega_{m,0}/a + (1 - \Omega_{m,0})a^{2})^{1/2}}$$

宇宙時間とスケールファクターを関連付ける $a$。私の質問は次のとおりです。ビッグクランチの時間を計算するにはどうすればよいですか（たとえば、再び発生する時間）$a=0$？

私はそれが上記の2倍の積分であり、上限が $a$ 私たちが持っている $H(t) = 0$、しかしそれは私にはあまり意味がありません。また、バーバラ・リデンによる宇宙学入門では、私が探しているのは（eq。5.98）であると述べています。

$$ t_\text{crunch} = \frac{2\pi}{3H_{0}}\frac{1}{(\Omega_{m,0}-1)^{1/2}}$$

それは私が間違ったアプローチを試みていることを示唆していると思います。誰かが私を助けることができますか？上記の方程式を見つけるにはどうすればよいですか？

Answer 1

その積分には閉じた形の解があり、 $$H_0 t = \frac{2 \sinh^{-1} \left(\sqrt{\frac{1-Ω_{m,0}}{Ω_{m,0}}}\,a^{3/2}\right)}{3 \sqrt{1-Ω_{m,0}}} = \frac{2 \sin^{-1} \left(\sqrt{\frac{Ω_{m,0}-1}{Ω_{m,0}}}\,a^{3/2}\right)}{3 \sqrt{Ω_{m,0}-1}}.$$

再崩壊する宇宙の場合、これは進化の半分だけを拡大し、アークサインが最大値に達したときに終了します。 $π/2$。したがって、総年齢は$2 \frac{2 (π/2)}{3 \sqrt{Ω_{m,0}-1}}/H_0$。