同値関係の横断
上の関係を定義する $\mathbb{R}^2$ 沿って $(a, b)\sim(c, d)$ 場合に限り $(c-a, d- b) \in \mathbb{Z}^{2}$。証明してください$\sim$同値関係です。識別$\mathbb{R}^2$ 通常の方法で平面を使用して、最も自然な横断線を記述します。 $\sim$、あなたが見つけることができます。どちらかといえば、この質問はドーナツと何の関係がありますか？
私はすでに同値関係を証明し、それが提供されてから2番目の部分の解決策を知っていますが、それを理解するのに問題があります。私はそれが同値類について尋ねていると思いますか？
解決：
自然な横断は $I \times I$ どこ $I = \{r | r \in \mathbb{R}, 0 \leq r < 1\}$。の上部と下部に参加する$I$チューブを形成し、チューブを丸く曲げて2つの円も結合します。あなたはドーナツ（数学言語のトーラス）の表面を持っています。
回答
同値関係の横断線は、各同値類と正確に1点で交差する集合であると思います。セット$I\times I$ 関係の横断線です $\sim$。
半分開いた正方形に追加するとき $I\times I$ その上面と右側で、閉じた単位正方形が得られます $Q$。しかし、各ポイント$(x,1)$ の上面に $Q$ ポイントに相当します $(x,0)$ の下側に $Q$。したがって、商空間のモデルを構築する$\Bbb R^2/\sim$、各ペアのポイント $\{(x,1), (x,0)\}$一緒に接着する必要があります。これを行うと、チューブが得られます。チューブの境界となる円の反対側の点のペアは、ペアに対応します$\{(0,x), (1,x)\}$ 正方形の左側と右側の反対の点の $Q$、これらは同等であるため、それらも接着する必要があります。この2段階の構造は、提案されたソリューションで述べられているように、トーラスを提供します。
ウィキペディアも参照してください。
トーラスは、識別の下でデカルト平面の商として説明することもできます。 $$(x,y)\sim (x+1,y)\sim (x,y+1),$$ または、同等に、反対側のエッジを一緒に貼り付けることにより、単位正方形の商として。