変数のODE $r$

Question

これは簡単な質問だと思いますが、助けが必要です。

変数分離を使用して偏微分方程式を解こうとしているときに、ODEに出くわしました。

次の常微分方程式を解きたい： $$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$

解決策は $A\cos(\lambda r)/r +B\sin(\lambda r)/2\lambda r$

プラグを差し込むとチェックアウトしますが、実際にどのように解決策を得るのですか？

Answer 1

$$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$ $$r{R''(r)+{2}R'(r)}=-rR(r)\lambda^2$$ 次のように書き直します。 $$(rR(r))''=-rR(r)\lambda^2$$ $$(rR(r))''+rR(r)\lambda^2=0$$ 今それを次のように解きます： $$y''+\lambda^2y=0$$ どこ $y=rR(r)$。これは、簡単に解ける2階の線形微分方程式です。