評価中 $\int \ln(2x+3) \mathrm{d}x$

Question

評価する $$\int \ln(2x+3)\mathrm{d}x$$

セットする $r = 2x+3 \rightarrow \mathrm{d}r = 2\mathrm{d}x$

したがって、積分は $\displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r$

セットする $u=\ln(r)$、 $\mathrm{d}v=\mathrm{d}r$、 そう $\mathrm{d}u = \frac{1}{r}\mathrm{d}r$ そして $v=r$

$\implies \displaystyle \frac{1}{2}\int \ln(r)\mathrm{d}r=\frac{1}{2}\int u\, \mathrm{d}v=\frac{1}{2}(uv-\int v\, \mathrm{d}u) = \frac{1}{2}\left(\ln(r)r-\int \mathrm{d}r\right) = \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\left(x+\frac{3}{2}\right)+C$

しかし、正解は $\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C$

誰かが私の間違いがどこにあるのか、そして問題を解決するためのより良い方法を教えてもらえますか？ありがとう！

Answer 1

間違いはありません。 $C$ は任意の定数であり、 $-\frac 3 2+C$ ちょうど別の定数です $C'$。そして、この質問に答えるより良い方法はありません。

Answer 2

代替方法

考えてみてください $$\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}=\ln(2x+3)+\frac{2x}{2x+3}$$ 再配置、 $$\ln(2x+3)=\frac{\mathrm{d}(x\ln(2x+3))}{\mathrm{d}x}-\frac{2x}{2x+3}$$ だから、両方を統合すると、答えを得ることができます

Answer 3

定数と別の定数を別の定数で表すことができるため、ソリューションは正しいです。 $-\frac{3}{2}+C=C_1$。

別の方法として、パーツごとに統合して、 $u=\ln(2x+3)$ そして $dv=dx$。次に$du=\frac{2}{2x+3}$ そして私たちは取ることができます $v=x+\frac{3}{2}$。その結果\begin{align}\int \ln(2x+3)\,dx&=\ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \left(x+\frac{3}{2}\right)\frac{2}{2x+3}\,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-\int \,dx\\&= \ln(2x+3)\left(x+\frac{3}{2}\right)-x+C, \end{align} 予想通り！