奇数モーメント= 0の非縮退確率変数の例

Question

すべての奇数モーメントが同じようにゼロである非縮退の確率変数の一例を考えてみてください。確率変数の確率質量関数を与え、それが表すことができる量を述べます。

サイコロは縮退していないので、最初はサイコロを振ろうと思っていましたが、その奇妙な瞬間が0だとは思いません。例を考えて簡単に説明できる人はいますか？

Answer 1

1.連続確率変数

標準のガウス分布、 $X\sim N(0;1)$ 動作します。

$$\mathbb{E}[X^{2n+1}]=0$$

$\forall n \in \mathbb{N}$

証明は、テイラー級数でMGFを拡張し、導出するのは非常に簡単です。

次のスティックの長さを測定するときの測定誤差を表すことができます

2.離散確率変数

$Y$ 値を取る確率変数です $Y=\pm1$ 確率で $\mathbb{P}[Y=-1]=\mathbb{P}[Y=1]=\frac{1}{2}$

$$\mathbb{E}[Y^{2n+1}]=\frac{1}{2}[(-1)^{2n+1}+1^{2n+1}]=0$$

$\forall n \in \mathbb{N}$

$Y$ 次の機能を表します

$$Y=2X-1$$

どこ $X\sim B\Big(\frac{1}{2}\Big)$、パラメータ0.5のベルヌーイrv

「公正なコインゲームを投げる」勝利をプレイするときのランダムゲインを表すことができます $\$Hの場合は1 $、$ \を失う$1$ Tの場合