マッピングの時間微分 $t \mapsto P_tf(x)=\mathbb{E}^x(f(X_t))$ -無限小生成作用素

Aug 16 2020

誰でも方程式を説明できますか $1$ これで https://math.stackexchange.com/a/697412/767953より単純な形で?また、方程式からどのように理解することはできません$1$ 私たちはそれを見ることができます $u$ は熱方程式の解です。

回答

2 Surb Aug 16 2020 at 09:55

ヒント

\ begin {align} \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dt} P_tf(x)&= \ lim_ {h \ to 0} \ frac {P_ {t + h} f(x)-P_tf(x)} {h} \\&= \ lim_ {h \ to 0} P_t \ left(\ frac {P_hf(x)-f(x)} {h} \ right)\\&= P_t \ left(\ lim_ {h \ to 0} \ frac {P_hf(x)-f(x)} {h} \ right)\\&= P_tAf(x)\\&= AP_tf(x)。\ end {align} それぞれの平等を宿題として正当化させます。あなたの他の質問については、ブラウン運動の微小生成作用素が$$Af(x)=\frac{1}{2}\Delta f(x).$$ これがあなたにとって明確でないならば、宿題としてそれをしてください。