の評価リング $\mathbb{Q}$

Question

質問：の付値環は何ですか $\mathbb{Q}$？

ダニエル・バンプの本から代数幾何学を読み始めました。私は可換環論のバックグラウンドをあまり持っていません（したがって、この特定の本を選択したのは、その意味でより自己完結しているからです）。これは本の演習2.2です。

付値環に与えられた定義 $R$ フィールドの $F$ それは $R$ のサブリングです $F$ そのような $x\in F\setminus\{0\}$ 意味する $x\in R$ または $x^{-1}\in R$。また、評価リングがローカルであることも知っています。

フォームのサブリングは簡単にわかります $\{a/b\in \mathbb{Q}\; |\; p\nmid b\}$ （にとって $p$ 素数）はの付値環です $\mathbb{Q}$。したがって、質問は、これらのようなリングがのすべての評価リングを使い果たすかどうかに要約されます$\mathbb{Q}$？私の推測では、そうです。これを示す直接（基本）方法はありますか？

Answer 1

答えはイエスです。なぜなら、フィールドの付値環は、支配関係のローカルサブリングの中で最大のサブリングであるという特性によっても特徴付けられるからです（つまり、小さいリングの最大イデアルは大きいリングの最大イデアルに含まれます） 。

詳細：サブリング$V\subset\mathbf Q$ 含まれています $\mathbf Z$、 で、もし $\mathfrak m$ の最大の理想です $V$、 $\mathfrak m\cap\mathbf Z $ 素数によって生成されます $p$ そして明らかに $\mathbf Z_{(p)}$ によって支配されています $V$。付値環でもあるので、最大限に、$\mathbf Z_{(p)}=V$。