の上限 $\sin(x) + \sin(\varphi x)$

Question

しましょう $\varphi$黄金比になります。の上限は何ですか$f(x)=\sin(x) + \sin(\varphi x)$？

私の考えは、関数のシーケンスを考慮することができるということでした $f_n(x) = \sin(x) + \sin(\frac{F_{n+1}}{F_n} x)$ フィボナッチ数の場合 $F_n$、に収束します $f(x)$。シーケンス$\{x_n\}_{n \geq 1}=F_n \pi + a_n$ 満たす $f_n(x_n) = \sin(a_n) + \sin(F_n a_n)$、正しいものを選択した場合 $a_n$、その後 $f_n(x_n) =2$ $\forall n$; これにより、問題が代わりに整数の問題に変更されます$\varphi$、しかし、ここからどこに進むべきかわかりません。

Answer 1

明らかに、最大値は上で制限されています $2$、それぞれとして $\sin$ の最大値があります $1$。

最初の関数の最大値は次の場合に得られます $\sin x = 1$ または $x = 2 \pi k_1 + \pi/2$ いくつかの整数の場合 $k_1$、そして同様に $\sin (\phi x) = 1$ または $\phi x = 2 \pi k_2 + \pi/2$。少し操作すると：

$$k_1 = \frac{k_2}{\phi} - \frac{\phi - 1}{4 \phi}$$

なぜなら $\phi$ は有理数ではなく、この方程式を正確に解くことはできません。 $k_1$ そして $k_2$。ただし、を選択することにより、これを任意に厳密に近似できます。$k_2$ 非常に大きい（例： $10^{1000}$）、および $k_1$。このようにして、あなたはできるだけ近づくことができます$f(x) = 2$ 好きなように。