の両面の理想 $M_n(k)$
Oct 04 2020
J.ミルンは、類体論のノートで次の例を示しています。
私はそれを証明することができます $M_n(k)$ シンプルです $k$-任意の行列によって生成された理想が必然的にであることを示すことによる代数 $M_n(k)$それ自体ですが、ミルンの主張は理解できません。場合$J$はゼロ以外の理想であり、極小イデアルと極小イデアルが含まれている必要があります。それを証明するためにミルンの主張をどのように結論付けることができますか$J=M_n(k)$？
PS：GT7.15aにはこれに関する情報がありません。
回答
2 rschwieb Oct 04 2020 at 10:05
私には、「それはそれに続く」というフレーズの前に議論された内容とその後の主張との間に大きなギャップがあるように思われます。すべての議論は、理想にはそれらのタイプの左右の理想が含まれている必要があることを示唆していますが、それがリング全体になる理由は明らかではありません。
私が見ることができる最も近いものはこれです：理想の非ゼロ要素と正しい乗算を使用して、ちょうど1つの非ゼロ列jを持つ非ゼロ要素を取得します。会話によって、理想は含まれている必要があります$L(\{j\})$。より多くの正しい乗算を使用して、それは含まれている必要があります$L(\{i\})$他のすべてのインデックスについても。したがって、リング全体である合計が含まれます。
しかし、これはすべて、「任意」という単語が含まれている行を説明することにかかっています。適切なものを選択することで、任意の列ベクトルを取得できることを伝えているようです。$A$、しかしこれは与えられたよりも多くの説明に値する。