最小の可解群

Question

「最小の非可解群」とは、すべての適切なサブグループが可解である非可解群を意味します。

次の命題の証明または反例が必要です。

しましょう $G$有限の最小可解群であること。次に、次のいずれかが発生します。

（a） $G$ 有限の非アーベル単純群です。

（b） $G$ 素数正規部分群を持っています $N$、商群が $\dfrac{G}{N}$ 有限の非アーベル単純群です。

前もって感謝します

Answer 1

それは真実ではない。反例は非分割拡張です$2^3.L_3(2)$ 初等アーベル群の位数 $8$ 単純なグループによって ${\rm SL}(3,2)$。

次に $G$ 通常のサブグループがあります $N$ と $G/N$ シンプルですが $N$ 素数はありません。