正の明確な定義
私は上のメモを見ています http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~s.settepanella/teachingfile/Calculus/Calculus1/pagine/lecture8.pdf。
対称の場合、次は同等であると言われています $H$:
(1) $H$ 正定です。
(2) $x^THx > 0$
(3) $\lambda_i(H) > 0$
(4) $\det(H) > 0$ !??????
(5)の対角エントリ $H_{ii}$ ポジティブです!?????
(4)と(5)は属していないようです。(4)はの必要条件です$H$正に明確であるが、十分ではない。考えてみてください$2 \times 2$2つの負の固有値を持つ行列。行列は正定値ではありませんが、正の行列式があります。対角行列について話していない限り、実際には(5)について聞いたことがありません。これも間違っていませんか?
回答
(4)は誤りです。反例については、$H = -I$ どこ $I$ それは $2\times 2$単位行列。次に、ゼロ以外の場合$x$、 我々は持っています $x^T H x = -x^T x < 0$、 そう $H$ 明確ではありません。
(5)も誤りです。検討する$H = \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$、行列式があります $-3$。これは、その固有値の1つが負であることを意味します。特に、$\lambda = -1$ は、たとえば固有ベクトルを持つ固有値です。 $x = \displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}$。次に$x^T H x = x^T(Hx) = x^T(\lambda x) = -x^T x < 0$、 そう $H$ 明確ではありません。