しますか $M = \oplus_i M_i = \sum_j M'_j$ と $M_i, M'_j$ 単純な意味 $M_i \simeq M'_j$ 一部のi、j

Question

しましょう $M$ である $R$-モジュール。2つの家族が存在すると仮定します$(M_i)_i$ そして $(M'_j)_j$ の単純なサブモジュールの $M$ そのような $$ M = \bigoplus_i M_i = \sum_j M'_j. $$ ありますか $i,j$ そのような $M_i \simeq M'_j$？

Answer 1

表記上の便宜のために、 $I$ そして $J$ のインデックスセットである $M_i$ そして $M_j'$。

答えはあなたの質問への答えはイエスです、そして実際には誰にとっても $j\in J$ 私たちは見つけることができます $i\in I$ と $M_i\cong M_j'$。これを見るには、$f:M_j'\hookrightarrow M$ 包含マップであり、定義する $f_i=\pi_i\circ f$ すべてのための $i\in I$、 どこ $\pi_i:M\to M_i$投影図です。私たちはすべてを持つことはできません$f_i$ まったくゼロ、またはそうでなければ $f$ まったく同じようにゼロになり、それと矛盾します $M_j'$シンプルです。したがって、いくつかあります$i$ と $f_i$ゼロ以外。しかし、単純加群間のゼロ以外のマップは同型であるため、$f_i$ 実際には同型です $M_j'\cong M_i$、 望んだ通りに。

実際、同様の声明が当てはまります $I$ の代わりに $J$： すべてのための $i\in I$、見つけることができます $j$ と $M_i\cong M_j'$。これは、ここの補題1（の証明）から得られます。確かに、以来$M=\sum_{j\in J}M'_j$、およびそれぞれ $M'_j$ シンプルで、いくつかあります $J'\subseteq J$ と $M=\bigoplus _{j\in J'}M_j'$。これで、投影の構成を検討することにより、上記とまったく同じ議論を適用できるようになりました。$\pi_j:M\to M'_j$ （すべてのために $j\in J'$）包含あり $M_i\hookrightarrow M$。