数学的CNOT解釈
私は、CNOTがターゲットキュービットの振幅を反転させる可能性があると思っていました。 $b^2$ どこ $b$ それは $|1\rangle$制御量子ビットの振幅。これにより、ターゲットキュービットの最終（CNOT後）状態は次のようになります。$$ \sqrt{a_1^2 a_2^2 + b_1^2 b_2^2} \big|0 \big\rangle + \sqrt{a_1^2 b_2^2 + b_1^2 a_2^2} \big|1 \big\rangle $$ （直感は確率でそれです $a^2$ フリップはなく、確率で $b^2$フリップが発生します）しかし、実際には、ターゲットキュービットにそのような式を2回続けて適用した後、そのようなキュービットは初期状態になりません。したがって、上位の解釈が間違っているか、どこかで数学を失敗させました。私の解釈が間違っている場合、正しいものを提供していただけますか？それが正しければ、確率の観点からそれを導き出し、CNOTユニタリ行列がどのように機能するかを理解するのを手伝ってください。
回答
単一のCNOT操作の場合、最も簡単なアプローチはブール論理の観点から考えることです。数学的には、これは通常、モジュラー加算で表され、CNOTのアクションを次のように与えます。$$\vert A, B \rangle \rightarrow \vert A, A \oplus B \rangle,$$ どこ $\vert A, B \rangle$ のテンソル積です $\vert A \rangle$ そして $\vert B \rangle$、および $\oplus$ 追加mod2です。これがあなたにとって異質であると思われる場合は、 $2 \times 2$真理値表を見ると、ここでは複雑なことは何も起こっていないことがわかります（おそらくいくつかのなじみのない表記を除いて）。それも簡単にわかります$A \oplus A \oplus B = B$、順次適用後に期待される結果を与える。
別のアプローチは、線形代数のツールを使用して、CNOTをユニタリ変換として表すことです。CNOTは2キュービット演算であるため、変換の次元は次のようになります。$2^2=4$、与える $$\vert A, B \rangle \rightarrow U_{CNOT}\vert A,B \rangle, \;\;\; U_{CNOT}=\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0 \end{bmatrix}.$$ なぜそれが機能するのかについて混乱がある場合は、これを手作業で行う価値もあります。 $U_{CNOT}{}^2=I$。
OP方程式に内在する問題のある仮定の1つは、 $\vert A \rangle$ そして $\vert B \rangle$CNOTの後で分離可能ですが、これは一般的には当てはまりません。言い換えれば、$\vert A \rangle$ そして $\vert B \rangle$CNOTの後に絡み合っている場合、純粋な状態の線形結合として表すことはできなくなります。この時点で、密度行列は、一連のマルチキュービットゲートの後に指数関数的に大きなベクトルを処理することを回避するために関連するようになります。
コメントに応じて編集：
その論理的な終わりに、あなたの解釈は、2つのキュービット状態の測定結果の間の古典的な相関関係につながります。ベルとCHSHの実験は、絡み合ったキュービット状態が古典的に相関していないことを疑いの余地なく示しています。
したがって、少なくともCNOTがエンタングルメントを作成する場合、あなたの解釈は実験と矛盾します。残念ながら、この主題に関する1世紀にわたる議論の後、正しい解釈が何であるかはまだ明らかではありません（またはそのような解釈が存在する場合でも）。さらに残念なことに、実験と一致する多くのもっともらしい解釈があります。