スキーム上の準コヒーレントモジュールの有限限界の存在

Question

準コヒーレントモジュールの定義 $\mathcal{M}$ スキームについて $X$ 互換性のあるモジュールファミリになる $(\mathcal{M}(x))_{x \in X(A), A \in \textbf{Rings}}$（ここのように）、（有限の）限界の存在を示す（そしてそれがアーベル圏を形成する）ことを示す簡単な方法はありますか？

もちろん、考えられる1つの方法は、この定義が、に関連付けられた小さなザリスキサイトのモジュールの準連接層のカテゴリと同等のカテゴリを生成することを示すことです。 $X$、しかしそれはかなり汚い解決策のように感じます。

問題は、モジュールの束のプルバックを取ることは（一般的に）制限を取ることと通勤しないので、制限が「​​fibrewise」と定義されていないことだと思います。colimitsは、まさにその理由で正常に機能します。

私の友人が私に説明した別の議論は、上記のように定義されたモジュールのカテゴリを次のように示しているということのようです $\textbf{Mod}(X)$、1つは

$$\textbf{Mod}(X) = \varprojlim_{A \in \textbf{Aff}/X} \textbf{Mod}(A)$$

どこ （$2$-）制限は $(2,1)$-カテゴリ、関手、自然同型のカテゴリ。

今の議論はそれだろう $\textbf{Mod}(A)$ はローカルで提示可能なカテゴリです。（特定の？）ローカルで提示可能なカテゴリの制限はローカルで提示可能であり、ローカルで提示可能なカテゴリは任意の制限を許可します。

このように定義した場合、たとえばカーネルやモジュールの有限積を直接構築する、より基本的な方法はないのではないかと私はまだ思っていました。

どんな考えでもありがたいです！

- それは私にとっては問題ないと思いますが、誰かがそれを持っているなら、私はまだ他の基本的な議論を見たいと思っています！

Answer 1

コメントでほのめかされている正確なステートメントは次のとおりです。

しましょう $C = \lim_i C_i$ 予測のあるカテゴリの制限になる $\pi_i : C \to C_i$。しましょう$\{X_j\}_j$ の図である $C$。すべての場合$i$ 誘導図 $\{\pi_i(X_j)\}_j$ に $C_i$ 制限があります $X_i$、および遷移ファンクター $C_i \to C_{i'}$ 送信 $X_i \mapsto X_{i'}$ すべての射に対して $i \to i'$ インデックス作成カテゴリでは、元の図 $\{X_j\}_j$ に $C$ 制限を認める $X$ そのような $\pi_i(X) = X_i$ すべてのための $i$。

たとえば、 $X$ はスキームであり、準コヒーレント $O_X$-モジュールは、マップを要求できることを除いて、あなたが行ったように定義できます $Spec(A) \to X$ ザリスキの没頭になる（以来 $X$スキームです）。次に、遷移ファンクターは、オープンイマージョンに沿ったプルバックであり、正確であるため、有限の制限が保持されます。

または、降下することで、ザリスキのカバーを取ることができます $X$ アフィンによって $U_i$、その後 $Mod(X)$ の限界になります $Mod(U_i)$および交差点（カテゴリの束であるため、3方向の交差点に移動する必要があることを除いて、通常の束の状態と同様です）。ここでも、同じ引数を適用して、制限が計算されると言うことができます。$U_i$の。

Answer 2

それで、私は彼が最初にこの質問をした緑豊かな友人でした、そして私はいくつかの懸念を持っていました、特に私がリザと同じ答えをしたので、そしてあなたが直接nLab構造に従うならばそれが間違った答えを与えることに気づきました。重要なのは、制限内のダイアグラムの制限は、最初に上記のように緩い制限でポイントごとに計算する必要があり、次にコアフレクターを実際の制限に適用する必要があるということです。

たとえば、ローカルで表示可能なカテゴリのデカルト正方形がある場合

$$\begin{matrix} P&\xrightarrow{f^\prime_!}&C_1\\ g^\prime_!\downarrow &\ulcorner&\downarrow g_!\\ C_2&\xrightarrow{f_!}&C_0 \end{matrix}$$

と図 $d:D\to P$、私は計算することができます $P$ この図の緩い限界の共局在化として（スパンカテゴリにわたる関連するデカルトファイブレーションの不要なデカルトセクションのカテゴリ） $\operatorname{Span}$）。この緩い限界をで示しましょう$L$。それから随伴関手があります$P\leftrightarrows L$、左随伴 $P\to L$完全に忠実です。これは、$P$ コアフレクターの下の画像として計算されます $L\to P$ の限界の $L$、これは実際には接続マップと一緒に点ごとの制限です

$$g_! \lim (f^\prime_! \circ d)\to \lim (g_! \circ f^\prime_! \circ d)=\lim (f_! \circ g^\prime_! \circ d) \leftarrow f_!\lim(g'_!\circ d).$$

したがって、真の制限を形成するには、この正式な図にコアフレクターを適用する必要があります（緩い制限の対象と見なされます）。

これにより、このような図の現在の制限を計算する式が得られますが、実際の制限の存在は、このファイバー製品が表示可能であるという事実（および任意の製品がまだ表示可能であるということ）に基づいています。

例の作成を完了するために、coreflectorは次のファイバー製品を提供します。 $P$

$$ \lim(f^{\prime \ast}\lim (f^\prime_! \circ d)\to f^{\prime\ast}g^\ast\lim (g_! \circ f^\prime_! \circ d)=g^{\prime\ast}f^\ast\lim (f_! \circ g^\prime_! \circ d) \leftarrow g^{\prime\ast}\lim(g'_!\circ d)).$$

しかし、この式が意味をなすためには、最初にその限界を知る必要がありました $P$ 存在し、それは $\operatorname{Pr}^L$ の制限と一致する制限を認めます $\mathbf{Cat}$。

注：私は、左右の随伴関手（上星と下星ではなく、下の叫び声と上星）に分類規則を使用しました。 $\operatorname{Pr}^L$ この場合はより明確であるため、代数幾何学的規則ではなく。

編集：ここでの緑豊かな質問は、私たちが非公開で議論したものとは少し異なっていたようです。私の間違い。リザの答えはフラットカバーに対して正しいです（これは定理ですが、必要に応じて、オープンイマージョンでは完全に明らかです）。