畳み込み積分線形演算子 $L^2$
で線形演算子を定義する $L^2[0,1]$ 沿って $K(f)(t) = \int_{0}^{t}(t-s)f(s)ds$。与えられた$g \in L^2[0,1]$、検索 $f$ そのような $f = g + K(f)$。
私はこれを行う方法に本当に迷っています。私はすでにそれを示しました$K$ は有界線形演算子なので、リースの表現定理を使用できるかもしれないと思いましたが、それは正しい方向ではないと思います。
どこに行くべきかについてのヒントを本当にいただければ幸いです。ありがとう！
回答
積分方程式は、ラプラス変換を使用して解くことができます。2つの関数の畳み込みのラプラス変換が各関数のラプラス変換の積であるという事実を使用して、ラプラス変換を両側に適用します。そうすることで、方程式を取得します$$F(s) = G(s) + \frac{G(s)}{2(s-1)} - \frac{G(s)}{2(s+1)}$$ どこ $F$ そして $G$ のラプラス変換は $f$ そして $g$、それぞれ。畳み込み定理を使用して、項ごとに逆ラプラス変換を行い、右側の2番目と最後の項の逆ラプラスを見つけます。
これはそれを示すのと同じ質問です $f\mapsto K(f)-f$全射線形演算子です。なぜなら$K$ ヒルベルトシュミット演算子であり、コンパクトであり、 $T(f)=K(f)-f$したがって、フレドホルムです。実際、コンパクトを追加してもフレドホルム指数は変化しないため、指数ゼロのフレドホルムです。したがって、カーネルが自明であることを示す場合、演算子は全射であることを示しています。
と仮定する $T(f)=0$、または、同等に、 $K(f)=f$。その後、ほぼすべての$t$、 $f(t)=\int_0^t (t-s)f(s)\,ds$。畳み込み演算子のイメージは連続であるため、次の連続代表を選択できます。$f$、そして点ごとの平等を求めます。今、いつでも$t_0$、 $\frac{1}{h}[f(t_0+h)-f(t_0)]=\frac{1}{h}\int_{t_0}^{t_0+h}(t-s)f(s)\,ds$、以下 $\|f\|_\infty\cdot h$、したがって、関数は微分可能です。さて、積分の下で区別すると、$f'(t_0)=\int_0^{t_0} f(s)\,ds$、これはつまり $f''(t_0)=f(t_0)$、 そう $f(t)=c_1\sin(t)+c_2\cos(t)$。これらを接続すると、すぐに$c_1,c_2=0$、したがって、カーネルは自明であり、フレドホルム指数がゼロであるということは、演算子が $T$ 全射です。