「割り当て」にはどのような意味を割り当てる必要がありますか？
数日前から、シーモア・リプシュッツによるシャウムの一般的なトポロジーの概要を扱っています。これまで、私は集合と関数についての最初の章を検討して、彼の表記法を確実に理解するように研究してきました。
私の質問は本質的に哲学的であり、おそらく「ばかげている」と思われるかもしれませんが、とにかくそれを提起し、あなたの考えを聞いてみたいです！
第2章では、彼は次のように関数を定義しています（むしろ言葉で）：
セットの各要素にそれを仮定します $A$セットの一意の要素が割り当てられています$B$; コレクション、$f$、そのような割り当てのうち、からの関数と呼ばれます$A$ に $B$ ...（p.17、強調を追加）
非常に標準的だと思いますが、私の注意を引いたのは、assignという単語でした。何かを他の何かに「割り当てる」とはどういう意味ですか？この割り当てはどこに（つまり、どのようなセットで）保存されますか？
割り当てについての私の直感は、それが単なる要素のペアであるということでした（そして今でもそうです）。つまり、要素の割り当て$a \in A$ に $b \in B$ は単にのサブセットです $A \times B$。しかし、（哲学的な）問題はLipschutzの次の声明から来ています：
各機能へ $f: A \rightarrow B$の関係に対応します$A \times B$ によって与えられた $$\{ ( a,f(a) ) \vert a \in A\}.$$ （p.17、強調を追加）
したがって、関数には関係が対応します。つまり、関数と関係は異なるオブジェクトとして表示されます。次に、「関数とそのグラフを区別」しないことで、問題はカーペットの下で比喩的に一掃されます。私はこれを少しカラフルに「違いますが、質問することは想定されていません」と解釈します。
私が最初の代数コースを勉強したとき、それから関数を覚えています $f: A \rightarrow B$ 確かに、関係の特別な場合として、すなわち、のサブセットとして定義されました $A \times B$。そのときはあまり考えたことはありませんでしたが、この方法で行うと、「割り当て」への参照が回避され、関数が「存在する」セットを正確に把握できるようになりました。$A \times B$、したがって、「割り当て」が「保存」される場所について考える必要はありません。しかし、機能と関係を区別することによって（それらの間には「対応する」の私の解釈であるマップがありますが）、この「割り当て」の性質の（哲学的）質問が発生します（少なくとも私の心の中で） 。
私が考えていることを言い換える別の方法は、私の考えでは、「割り当て」はセット間のマップまたは関数によって行われるということだと思います。しかし、「代入」操作の観点から関数を定義するとはどういう意味ですか？
お時間を割いていただき、誠に申し訳ございません。（トポロジーの問題を実際に処理するのではなく、この種のことを考えるのはとても愚かです...）。しかし、この文脈で「割り当て」が何を意味するのかについて、何らかの定義または概念があるのだろうかと思います。それとも、それは私たちがもっと考えるべきではない言語にすぎないのでしょうか？それとも、英語を母国語としないので、私が見逃したことがあるのでしょうか。
あなたが何か洞察を持っているなら、私はそれらを聞きたいです:)
回答
関数を正式に定義する方法はいくつかあり、割り当てについて考える方法もいくつかあります。しかし、教科書の作者にとって、関数を使って何をしようとしているのかと関係がない場合は、側面を選ばないことが最大の利益になります。
定義
関数の「グラフ」は一般的に合意されています $f:A\to B$ のサブセットです $A\times B$ あなたが書くことができること $\left\{\left(a,f(a)\right)\left|a\in A\right.\right\}$。これにはいくつかの表記法がありますが、私は使用します$G(f)$ のグラフ $f$。
関数はそのグラフであると言うテキストもあります。これは、関係の説明によく適合します（たとえば、一部の関係は関数であり、一部はそうではありません）。これは、意図した終域（セット）を導出できないことを意味します$B$）in "$f:A\to B$「関数から、関数が全射/全射であるかどうかは関数の固有のプロパティではなく、関数のプロパティと、特定のコンテキストで言及されたターゲット/終域が一緒になります。実際には、通常は問題ありません。 ;しかし、2つの関数が等しいかどうかについて話したい場合は、そのルートに行きたくないかもしれません。
他のテキストは、関数のデータの一部として、定義域と終域をグラフにバンドルします。だから関数$f$ 注文したトリプルのようなものになります $\left(A,B,G(f)\right)$。このように、関数は全射であるか、そうでないかのどちらかです。そして、異なる終域を持つ関数は間違いなく異なるオブジェクトです。
これを行うテキストはほとんどありませんが、グラフからドメインを復元できるため（正確な方法は、集合論でペアを設定する方法によって異なります）、ドメインを破棄して、関数と言うことができます。は $(G(f),B)$ または類似。
割り当て
ドメインと終域がグラフにバンドルされているかどうかに関係なく、この種のコンテキストでの入力への出力の「割り当て」は、通常、グラフがセットとして存在することを意味します。すべての第1座標は、対応する第2座標に「割り当て」られます。
しかし、入力からの出力を計算するルールや、グラフ全体をきちんと説明する論理的な事実について考えているかもしれません。あなた/誰かがそのようなことを考えているなら、あなたはすべての関数について考えているのではなく、おそらく「計算可能関数」または「構成可能関数」または「定義可能関数」のようなものです。