Znalezienie automorfizmu górnej półpłaszczyzny z uwzględnieniem trzech różnych punktów

Dec 11 2020

Przypuszczać $(x_1,x_2,x_3)$ i $(y_1,y_2,y_3)$ są dwiema parami trzech różnych punktów na rzeczywistej osi z $x_2<x_2<x_3$ i $y_1<y_2<y_3$. Udowodnij, że istnieje (unikalny) automorfizm$\phi$ z $\mathbb{H}$ po to aby $\phi(x_j)=$

Znam już część wyjątkowości i chcę udowodnić istnienie.

wiem to $Aut(\mathbb{H})=\{\phi:\phi(z)=\frac{az+b}{cz+d}:a,b,c,d\in\mathbb(R), ad-bc>0\}$. Automorfizmy górnej połowy płaszczyzny sugerują mi „skalowanie i koniugację”$\frac{(z-x_1)(x_2-x_3)}{(z-x_3)(x_2-x_1)}$ale wydaje mi się, że nie rozumiem, jak to działa. próbowałem$(y_2-y_1)\frac{(z-x_1)(x_2-x_3)}{(x_2-x_1)(z-x_3)}+y_1$ tak, że wysyła $x_1$ do $y_1$ i $x_2$ do $y_2$ ale nie wiem, dlaczego początkowo wysyłam $x_3$ do $\infty$. Czy ktoś mógłby mi pomóc z tym pytaniem? Dziękuję Ci.

Odpowiedzi

1 MartinR Dec 11 2020 at 17:47

Chodzi o to, aby to pokazać

  1. $T(z; x_1, x_2, x_3) = \dfrac{(z-x_1)(x_2-x_3)}{(z-x_3)(x_2-x_1)}$ jest automorfizmem $\Bbb H$ które mapy $x_1, x_2, x_3$ do $0, 1, \infty$, odpowiednio, i

  2. automorfizmy $\Bbb H$ utworzyć grupę.

W związku z tym $$ T(z; y_1, y_2, y_3)^{-1} \circ T(z; x_1, x_2, x_3) $$ jest automorfizmem $\Bbb H$ z żądaną właściwością.

Uwaga: $\dfrac{(z-x_1)(x_2-x_3)}{(z-x_3)(x_2-x_1)}$jest, do pewnej permutacji argumentów, tak zwanym „współczynnikiem krzyżowym” lub „podwójnym współczynnikiem”$z, x_1, x_2, x_3$.