Статистика - теорема Чебышева

Доля любого набора чисел, лежащих в пределах k стандартных отклонений этих чисел среднего этих чисел, не менее

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2}} $

Где -

$ {k = \ frac {\ внутри \ number} {\ standard \ deviation}} $

и $ {k} $ должно быть больше 1

пример

Problem Statement:

Используйте теорему Чебышева, чтобы найти, какой процент значений будет находиться между 123 и 179 для набора данных со средним значением 151 и стандартным отклонением 14.

Solution:

Мы вычитаем 151-123 и получаем 28, что говорит нам, что 123 на 28 единиц ниже среднего.
Мы вычитаем 179–151 и получаем 28, что говорит о том, что 151 на 28 единиц выше среднего.
Эти два вместе говорят нам, что значения от 123 до 179 находятся в пределах 28 единиц от среднего. Следовательно, «внутреннее число» - 28.
Таким образом, мы находим количество стандартных отклонений k, которое составляет "внутреннее число" 28, разделив его на стандартное отклонение:

$ {k = \ frac {\ внутри \ number} {\ standard \ deviation} = \ frac {28} {14} = 2} $

Итак, теперь мы знаем, что значения между 123 и 179 находятся в пределах 28 единиц от среднего, что совпадает с k = 2 стандартными отклонениями от среднего. Теперь, поскольку k> 1, мы можем использовать формулу Чебышева, чтобы найти долю данных, которые находятся в пределах k = 2 стандартных отклонения от среднего. Подставляя k = 2, получаем:

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2} = 1- \ frac {1} {2 ^ 2} = 1- \ frac {1} {4} = \ frac {3} {4}} $

Итак, $ {\ frac {3} {4}} $ данных лежат между 123 и 179. А поскольку $ {\ frac {3} {4} = 75} $%, это означает, что 75% значений данных находятся между 123 и 179.