Статистика - отрицательное биномиальное распределение

Отрицательное биномиальное распределение - это распределение вероятностей количества случаев успеха и неудач в последовательности независимых трасс до того, как произойдет определенное количество успехов. Ниже приведены ключевые моменты, которые следует отметить в отношении отрицательного биномиального эксперимента.

Эксперимент должен состоять из x повторных попыток.
У каждого следа есть два возможных исхода: один - успех, другой - неудача.
Вероятность успеха одинакова для каждого испытания.
Вывод одного испытания не зависит от вывода другого следа.
Эксперимент следует проводить до тех пор, пока не будет получено r успехов, где r указано заранее.

Вероятность отрицательного биномиального распределения может быть вычислена следующим образом:

Формула

${ f(x; r, P) = ^{x-1}C_{r-1} \times P^r \times (1-P)^{x-r} }$

Где -

${x}$ = Общее количество испытаний.
${r}$ = Количество случаев успеха.
${P}$ = Вероятность успеха в каждом случае.
${1-P}$ = Вероятность отказа в каждом случае.
${f(x; r, P)}$ = Отрицательная биномиальная вероятность, вероятность того, что отрицательный биномиальный эксперимент по x приведет к r-му успеху в x-м испытании, когда вероятность успеха в каждом испытании равна P.
${^{n}C_{r}}$ = Комбинация n элементов, взятых по r за раз.

пример

Роберт - футболист. Его успешность попадания по воротам составляет 70%. Какова вероятность того, что Роберт забьет свой третий гол с пятой попытки?

Solution:

Здесь вероятность успеха P равна 0,70. Количество попыток x равно 5, а количество успехов r равно 3. Используя формулу отрицательного биномиального распределения, давайте вычислим вероятность достижения третьей цели с пятой попытки.

${ f(x; r, P) = ^{x-1}C_{r-1} \times P^r \times (1-P)^{x-r} \\[7pt] \implies f(5; 3, 0.7) = ^4C_2 \times 0.7^3 \times 0.3^2 \\[7pt] \, = 6 \times 0.343 \times 0.09 \\[7pt] \, = 0.18522 }$

Таким образом, вероятность забить третий гол с пятой попытки равна $ { 0.18522 }$.