Статистика - распределение хи-квадрат

Распределение хи-квадрат (хи-квадрат или $ {X ^ 2} $ - распределение) со степенями свободы, k - это распределение суммы квадратов k независимых стандартных нормальных случайных величин. Это одно из наиболее широко используемых распределений вероятностей в статистике. Это частный случай гамма-распределения.

Распределение хи-квадрат широко используется статистиками для вычисления следующего:

  • Оценка доверительного интервала для стандартного отклонения совокупности нормального распределения с использованием стандартного отклонения выборки.

  • Проверить независимость двух критериев классификации множества качественных переменных.

  • Чтобы проверить отношения между категориальными переменными.

  • Для изучения дисперсии выборки, в которой основное распределение является нормальным.

  • Проверить отклонения разницы между ожидаемой и наблюдаемой частотами.

  • Провести тест хи-квадрат (критерий согласия).

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности распределения хи-квадрат определяется как:

Формула

$ {f (x; k) =} $ $ \ begin {cases} \ frac {x ^ {\ frac {k} {2} - 1} e ^ {- \ frac {x} {2}}} {2 ^ {\ frac {k} {2}} \ Gamma (\ frac {k} {2})}, & \ text {if $ x \ gt 0 $} \\ [7pt] 0, & \ text {if $ x \ le 0 $} \ end {case} $

Где -

  • $ {\ Gamma (\ frac {k} {2})} $ = Гамма-функция, имеющая значения в замкнутой форме для целочисленного параметра k.

  • $ {x} $ = случайная величина.

  • $ {k} $ = целочисленный параметр.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения хи-квадрат имеет следующий вид:

Формула

$ {F (x; k) = \ frac {\ gamma (\ frac {x} {2}, \ frac {k} {2})} {\ Gamma (\ frac {k} {2})} \\ [7pt] = P (\ frac {x} {2}, \ frac {k} {2})} $

Где -

  • $ {\ gamma (s, t)} $ = нижняя неполная гамма-функция.

  • $ {P (s, t)} $ = регуляризованная гамма-функция.

  • $ {x} $ = случайная величина.

  • $ {k} $ = целочисленный параметр.