Analytische Funktionen verschwinden (sub) exponentiell im Unendlichen

Question

Lassen $f$ eine analytische Funktion in der oberen komplexen Halbebene und kontinuierlich bis zur realen Achse sein und lassen $a>0$. Angenommen, die Funktion \ begin {Gleichung} \ zeta \ in \ mathbb {C} ^ + \ rightarrow f (\ zeta) \ mathrm {e} ^ {- ia \ zeta} \ in \ mathbb {C} \ end {Gleichung } ist selbst begrenzt. Intuitiv, da der Absolutwert des Exponentials als wächst$|z|\to\infty$, dafür braucht man $f$ zumindest exponentiell abklingen, wobei der Exponent größer als ist $a$, beim $|z|\to\infty$;; Zum Beispiel jede Funktion wie$f(\zeta)=\mathrm{e}^{ib\zeta}$, $b>a$ wird den Trick machen, sowie jede Kombination solcher Funktionen.

Ich frage mich, ob die Klasse der analytischen, begrenzten Funktionen in der Halbebene, die diese Bedingung erfüllt, tatsächlich größer ist und / oder irgendwie charakterisiert werden kann.

Answer 1

Holomorphe Funktionen mit kontrolliertem Wachstum erscheinen normalerweise in der Theorie der integralen Transformationen der verallgemeinerten Funktion. Betrachten Sie zum Beispiel die Klasse holomorpher Funktionen, die in der rechten Halbebene durch eine Exponentialfunktion begrenzt sind, dh so$$ \mathscr{LH}_a\triangleq\big\{ f\text{ is holomorphic for }\Re\zeta>-a \text{ and } |f(\zeta)|\le Ce^{-L|\zeta|},\; \Re \zeta>0\big\}.\label{1}\tag{1} $$ für einige $L>0$ (unter der Annahme, dass nichts von der Regelmäßigkeit der Funktion abhängt $f$ zum $\Im \zeta=0$).
Es kann nachgewiesen werden, dass ([2] S. 400 und S. 403) eine analytische Funktion ist$f$ gehört $\mathscr{LH}_a$genau dann, wenn es sich um die Laplace-Transformation einer Laplace-Hyperfunktion handelt : und die Klasse \ eqref {1} bis zu einer Drehung gegen den Uhrzeigersinn von$\pi/2$ des Definitionsbereichs seiner Mitglieder schließt streng die Klasse holomorpher Funktionen ein, die in der oberen Halbebene begrenzt und auf der realen Achse stetig sind, dh wenn $f$ ist dann auf der oberen Halbebene begrenzt und auf der realen Achse stetig $f(-i\zeta)\in\mathscr{LH}_0$.

Abgesehen von dieser "modernen" Charakterisierung dieser Funktionsklasse verwendete Torsten Carleman Funktionen, die auf der oberen und unteren Halbebene begrenzt sind, um seine verallgemeinerte Fourier-Transformation zu definieren: Sein Ergebnis wird in der Monographie gesammelt [1].

Verweise

[1] Thorsten Carleman, L'intégrale de Fourier et Fragen qui s'y rattachent (Französisch), Publications Scientifiques de l'Institut Mittag-Leffler, 1, Uppsala. 119 p. (1944), MR0014165 , Zbl 0060.25504 .

[2] Eungu Lee und Dohan Kim, " Laplace hyperfunctions ", Integral Transforms and Special Functions, 19: 6, 399-407 (2008), MR2426730 , Zbl 1186.46042 .