Auf der Suche nach einer Sorte, die Halbgruppen beschreibt, die getreu als richtige Übersetzungen dargestellt werden können.

Question

Wenn $G$ Ist eine Gruppe, sehen wir, dass die Bijektion $y\mapsto y_r$, wo $(x)a_r = xa$, Funktionen von rechts geschrieben, ist ein Gruppenisomorphismus.

Auf diese Weise haben wir eine interessante Interpretation von Gruppen als Übersetzungen.

Lassen Sie sich davon inspirieren $S$sei irgendein Magma. Betrachten wir die gleiche Operation einer richtigen Übersetzung auf$S$. Wir können eine Frage stellen, wann diese Karte ist$y\mapsto y_r$ ein Homomorphismus.

Dies ist eindeutig iff $(x)a_rb_r = (x)(ab)_r$ für jeden $x, a, b$, das ist, $(xa)b = x(ab)$.

Auf diese Weise gelangten wir aus einer einfachen Frage nach Übersetzungen, die einen Homomorphismus bilden, natürlich zur Definition einer Halbgruppe.

Wir können uns eine andere Frage stellen: Wann ist diese Karte ein Isomorphismus? Dies ist ein Isomorphismus iff$y\mapsto y_r$ ist injektiv, und das ist iff $(x)a_r = (x)b_r$, das ist, $xa = xb$ impliziert $a = b$ für alle $x, a, b$.

Solche Halbgruppen werden als links schwach reduzierende, kurz lwr-Halbgruppen bezeichnet.

Es gibt jedoch ein ernstes Problem damit, dass lwr-Halbgruppen keine Vielfalt zwischen Strukturen mit binärer Operation bilden. Klar, wenn$S$ ist also eine Halbgruppe, die also keine lwr-Halbgruppe ist $S^1$, wo $S\mapsto S^1$ist die Operation des Hinzufügens eines Identitätselements, ist eine lwr-Halbgruppe. Aber dann$S^1$ enthält $S$ als Untergruppe, so dass eine Untergruppe einer lwr-Halbgruppe keine lwr-Halbgruppe sein muss.

Es gibt jedoch eine Klasse von Halbgruppen, die eine Vielfalt bilden, möglicherweise nicht als Strukturen mit binärer Operation, sondern durch Hinzufügen eines Nullelements. Das sind übrig gebliebene Monoide$(S, \cdot, e)$ wo $\cdot$ ist eine binäre Operation, $e$ ist ein Nullelement und es gibt zwei Identitäten: $x(yz)\approx (xy)z$, $ex \approx x$.

Als eine Klasse von Halbgruppen, die aus dem Vergessen der Operation stammt $e$ dh $(S, \cdot, e)\mapsto (S, \cdot)$Alle linken Monoide sind lwr-Halbgruppen.

Meine Frage ist, ob wir eine Struktur finden könnten $(S, \cdot, \mathscr{F})$ wo $\mathscr{F}$ bezeichnet die Menge von allen $n$-ary Funktionen für $n\in\mathbb{N}_0$ außer $\cdot$ , die binäre Funktion und Identitäten, so dass eine Reihe von Algebren, die diese Identitäten erfüllen, eine Vielfalt bilden, und die Karte $(S, \cdot, \mathscr{F})\mapsto (S, \cdot)$ denn jede Algebra aus dieser Sorte verwandelt sie in eine lwr-Halbgruppe, und so ist die Klasse der auf diese Weise erhaltenen Mengen maximal oder wenn es unmöglich ist.

Für den Anfang, wenn eine Sorte, die eine Klasse von Halbgruppen zwischen linken Monoiden und lwr-Halbgruppen abdecken würde.

Update :

Ich konnte einen potenziellen Kandidaten für eine solche Struktur finden. Erwägen$(S, \cdot, e)$ wo $e:S\to S$ ist eine unäre Operation mit Identitäten $e(x)x \approx x$ und $e(x)e(y)e(x)y \approx y$.

Solche Strukturen verallgemeinern Monoide seit if $f$ ist also die linke Identität $e(x) \equiv f$gibt uns eine Struktur des obigen Typs. Darüber hinaus ist jede Halbgruppe, die diese Beziehungen erfüllt, eine lwr-Halbgruppe, da$xa = xb$ impliziert $a = e(a)b$ und $b = e(b)a$ so dass $a = e(a)e(b)e(a)b = b$.

Ich habe jedoch kein Beispiel, das kein linkes Monoid ist.

Update 2 :

ich habe das gefunden $e(x)x\approx x$, $e(x)e(y)e(x)y \approx y$ sind gleichbedeutend mit $e(x)^2 y \approx y$, $e(y)e(x)y \approx e(x)y$.

Insbesondere können wir beheben $x\in S$ und nehme $ e = e(x)^2$, so dass $ey = y$ für alle $y\in S$. Das heisst$S$ ist ein linkes Monoid.

Update 3 :

Kleine lwr-Halbgruppen, die keine Monoide hinterlassen :

Es gibt eine einzigartige lwr-Halbgruppe der Ordnung $3$Das ist kein linker Monoid. Es ist gegeben durch die Matrix \ begin {bmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \ end {bmatrix}

Nach meinen Berechnungen gibt es $18$ Halbgruppen der Ordnung $4$ Das sind lwr, aber keine Monoide übrig, mit Ids $54, 67, 69, 69^t, 70, 70^t, 77^t, 88, 92, 98, 99^t, 100, 101^t, 102, 102^t, 103^t, 110^t, 112$ im GAP-Paket Smallsemi, wo $t$ bedeutet die transponierte Multiplikationstabelle (Anti-Isomorphismus).

Neue Struktur :

Lassen Sie uns überlegen $(S, \cdot, e)$ wo $e$ ist eine binäre Operation $e:S\times S\to S$mit Identitäten $e(x, y) \approx e(y, x)$ und $e(x, y)x\approx x$.

Sie können sich die binäre Operation als eine Auswahl lokaler linker Identitäten vorstellen, die zwei Elemente binden $x, y$ zusammen durch fordern $e(x, y)$ sowohl lokale linke Identität von sein $x$ und $y$.

Wenn $S$ ist ein linkes Monoid mit linker Identität $f$, wir können nehmen $e(x, y) \equiv f$.

Jede solche Struktur ist eine lwr-Halbgruppe, weil $xa = xb$ für alle $x$ impliziert $e(a, b)a = e(a, b)b$, und das heißt $a = b$.

Solche Strukturen werden hier und hier diskutiert .

Update 4:

Es scheint eine andere Klasse von Halbgruppen zu geben, die schwach reduktiv sind! Dies sind Halbgruppen, die durch (kleine) Kategorien induziert werden. Die Konstruktion finden Sie hier in der Antwort von @ J.-E.Pin.

Wenn $(S, \cdot)$ wird durch Kategorie induziert $\mathcal{C}$, und $x\cdot f = x\cdot g$ für alle $x\in S$ und Morphismen $f, g$ von $\mathcal{C}$, dann nehmen $x = 1_X$ wo $X$ ist die Domäne von $f$, $f = 1_X\cdot g$. Speziell,$1_X\cdot g = 1_X\circ g$ ist so gleich definiert $g$. Wenn$x\cdot f = x\cdot 0 = 0$ für alle $x\in S$ und Morphismus $f$ von $\mathcal{C}$dann wie zuvor $f = 0$. Widerspruch.

Dies beweist, dass alle durch (kleine) Kategorien induzierten Halbgruppen schwach reduktiv sind.

Answer 1

Sie können die Klasse aller lwrs auf diese Weise beschreiben, indem Sie eine zusätzliche binäre und eine ternäre Operation verwenden. Bezeichnet die beiden Operationen mit$w(a,b)$ und $r(a,b,c)$Betrachten Sie die durch Assoziativität von $\cdot$ und Identitäten $$r(a,b,w(a,b)\cdot a)=a,\\ r(a,b,w(a,b)\cdot b)=b.$$ Beachten Sie, dass, wenn diese Identitäten gelten, für jede $a\neq b$ Wir müssen haben $w(a,b)\cdot a\neq w(a,b)\cdot b$, was die Halbgruppe impliziert $(S,\cdot)$ ist lwr für eine solche Algebra $(S,\cdot,w,r)$.

Umgekehrt, wenn die Halbgruppe $(S,\cdot)$ ist lwr, dann für jeden $a\neq b$ es gibt einige $w(a,b)$ so dass $w(a,b)\cdot a\neq w(a,b)\cdot b$. Verwenden Sie diese Werte zum Definieren$w$, Einstellung $w(a,a)$willkürlich. Wir können jetzt definieren$r(a,b,c)$ so, dass es gleich ist $a$ wenn $c=w(a,b)\cdot a$, $b$ wenn $c=w(a,b)\cdot b$ und nimmt jeden Wert für alle anderen $c$. Dann$(S,\cdot,w,r)$ erfüllt die oben genannten Identitäten.