Auftragsstatistik [Duplikat]

Question

Die Zufallsvariablen $X_1, X_2, . . . , X_n, Y_1, Y_2, . . . , Y_n$ sind iid $\mathcal{U}(0, a)$. Bestimmen Sie die Verteilung von$$Z_n = n \log\bigg(\frac{\max\{X(n), Y(n)\}}{\min\{X(n), Y(n)\}}\bigg)$$ Soll ich die gemeinsame Verteilung von finden $\max$ und $\min$ und dann Verteilung von finden $Z_n$, da wir zwei verschiedene Zufallsvariablen haben, weiß ich nicht, wie ich das machen soll!

Answer 1

Beobachten Sie zunächst, dass der Zufallsvektor $\Big(X_{(n)},Y_{(n)}\Big)$ wird am unterstützt $(0,a)^2$. Annehmen$f$ist seine Gelenkdichte. Schon seit$X_{(n)}$ und $Y_{(n)}$ sind unabhängig, wir haben $$f(x,y)=f_{X_{(n)}}(x)f_{Y_{(n)}}(y)=n^2a^{-2n}x^{n-1}y^{n-1}$$ für jeden $(x,y)\in (0,a)^2$. Beobachten Sie auch wie$Z_n$ wird am unterstützt $[0,\infty)$, was für jeden bedeutet $z\geq 0$ wir haben $$F_{Z_n}(z)=P(Z_n\leq z)=P\Big(Z_n\leq z,X_{(n)}<Y_{(n)}\Big)+P\Big(Z_n\leq z,X_{(n)}\geq Y_{(n)}\Big)$$ Mit ein wenig Algebra haben wir $$F_{Z_n}(z)=P\Big(X_{(n)}<Y_{(n)}\leq e^{z/n}X_{(n)}\Big)+P\Big(Y_{(n)}\leq X_{(n)} \leq e^{z/n}Y_{(n)}\Big)$$ Diese Wahrscheinlichkeit kann als Doppelintegral geschrieben werden $$F_{Z_n}(z)=2\int_0^{a} \int_{\frac{x}{e^{z/n}}}^{x}f(x,y)dydx=1-e^{-z}$$ welche Shows $Z_n \sim \text{Exp}(1)$.