Auswerten $\int_0^\infty\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}\,dx$

Question

Ich hatte viel Spaß an dieser Antwort, bei der ich trainiert habe$$\int_0^\infty\frac1{\sqrt{x^4+x^3+x^2+x+1}}\,dx=\frac4{\sqrt{4\varphi+3}}F\left(\frac{3\pi}{10},m=8\varphi-12\right)$$ Aber was passiert, wenn der größte Exponent im Nennerpolynom nicht ist? $4$aber eine andere ganze Zahl? Mit anderen Worten, gibt es eine allgemeine geschlossene Form oder einen Ausdruck für eine einzelne Reihe für $$\int_0^\infty\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}\,dx\ ?$$ Zum $n=5$ Die Antwort ist wie oben und für $n=4$ $$\int_0^\infty\frac1{\sqrt{x^3+x^2+x+1}}\,dx=2^{-1/4}F\left(\cos^{-1}\frac{1-\sqrt2}{1+\sqrt2},\frac12+\frac1{2\sqrt2}\right)$$ Die Integrale für $n=1,2,3$divergieren. Auswertung des Integrals für$n\ge6$scheint jedoch selbst mit Serien nicht realisierbar zu sein; Während die Gamma-Produktsumme in Jack d'Aurizios Antwort hier recht ansprechend aussieht, funktioniert sie nur für$n=5$ - Nur dann kann gezeigt werden, dass das Integral über $[0,\infty]$ ist doppelt so groß wie das Integral $[0,1]$, an welchem ​​Punkt bringen Sie Beta-Funktionen. Das andere Ergebnis in Jacks Antwort ist eine doppelte Summe, die auf andere verallgemeinert werden kann$n$ ist aber nicht sehr elegant (teils wegen der doppelten Summe, teils weil eine Grenze dieser Summe eine Bodenfunktion verwendet).

Wenn ein Ansatz, der die Aufgabe löst, auch Integrale für denselben Integranden liefert, jedoch mit anderen Grenzen (z $[0,1]$), das wäre dankbar.

Answer 1

Ich werde einen "Ausdruck für eine einzelne Serie" anbieten. hoffentlich kann jemand mit Adleraugen erkennen, was das in hypergeometrischen Begriffen ist, wodurch eine geschlossene Form erreicht wird.

Zum $x\in[0,\,1]$, anwenden $x=\sin^{2/n}t$;; zum$x\ge1$, anwenden $x=\csc^{2/n}t$. In Bezug auf fallende Pochhammer-Symbole ist das Integral$$\begin{align}&\frac2n\int_0^{\pi/2}(\sin^{2/n-1}t+\sin^{-3/n}t)\sqrt{1-\sin^{2/n}t}dt\\&=\frac2n\sum_{k\ge0}\frac{(\tfrac12)_k(-1)^k}{k!}\int_0^{\pi/2}(\sin^{2(k+1)/n-1}t+\sin^{2(k-3/2)/n}t)dt\\&=\frac1n\sum_{k\ge0}\frac{(\tfrac12)_k(-1)^k}{k!}(\operatorname{B}(\tfrac{k+1}{n},\,\tfrac12)+\operatorname{B}(\tfrac{k-3/2}{n}+\tfrac12,\,\tfrac12))\\&=\frac{\sqrt{\pi}}{n}\sum_{k\ge0}\frac{(\tfrac12)_k(-1)^k}{k!}\left(\tfrac{\Gamma\left(\tfrac{k+1}{n}\right)}{\Gamma\left(\tfrac{k+1}{n}+\tfrac12\right)}+\tfrac{\Gamma\left(\tfrac{k-3/2}{n}+\tfrac12\right)}{\Gamma\left(\tfrac{k-3/2}{n}+1\right)}\right).\end{align}$$

Answer 2

Lassen $n\ge5$. $$J_n=\int_0^\infty\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}dx=\int_0^1\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}dx+\int_1^\infty\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}dx.$$ Dann mach $x\mapsto 1/x$ im zweiten Integral und addieren Sie die beiden zusammen: $$J_n=\int_0^1\left(1+x^{(n-5)/2}\right)\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}dx.$$ Verwenden von $$(1-q)^{-\alpha}=\,_1F_0(\alpha;;q),$$ wir haben $$\sqrt{\frac{x-1}{x^n-1}}=\sum_{k\ge0}\beta_k^{(n)}x^k,$$ wo $$\beta_k^{(n)}=\sum_{r=0}^{k}[n|r]\frac{(\tfrac12)_{r/n}(-\tfrac12)_{k-r}}{(r/n)!(k-r)!},$$ mit $[a|b]$ als Iverson Bracket für $b/a\in\Bbb Z$:: $$[a|b]=\left\lfloor \exp\left(a\left\lfloor \frac{b}{a}\right\rfloor-b\right)\right\rfloor.$$ So $$J_n=\sum_{k\ge0}\beta_k^{(n)}\int_0^1(1+x^{(n-5)/2})x^kdx=\sum_{k\ge0}\beta_k^{(n)}\left(\frac1{k+1}+\frac{2}{2k+n-3}\right).$$ Das haben wir zusätzlich $$\beta_k^{(n)}=\sum_{r=0}^{\lfloor k/n \rfloor}\frac{(\tfrac12)_{r}(-\tfrac12)_{k-nr}}{r!(k-nr)!}.$$ Ich bezweifle, dass es eine allgemein geschlossene Form gibt.