Basis für $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ impliziert Axiom der Wahl?

Question

Lassen $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ bezeichnen den Vektorraum über $\mathbb{R}$von Folgen reeller Zahlen, wobei Multiplikation und Addition durch Komponenten definiert sind. Es ist bekannt, dass obwohl der Unterraum$\mathbb{R}^\infty$ von Sequenzen mit nur einer endlichen Anzahl von Nicht-Null-Termen hat eine Basis $\mathbf{e}_1 = (1, 0, 0, 0, \ldots), \mathbf{e}_2 = (0, 1, 0, 0, \ldots)$Dies ist keine Grundlage von $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ (Ausdruck der konstanten Sequenz $(1, 1, 1, \ldots)$ würde eine unendliche Summe erfordern $\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 + \cdots$und unendliche Summen in generischen Vektorräumen sind undefiniert). Es wurde auch bewiesen, dass die Aussage, dass alle Vektorräume eine Basis haben, dem Axiom der Wahl entspricht.

Ich interessiere mich jedoch für den spezifischen Raum $\mathbb{R}^\mathbb{N}$. Wurde bewiesen, dass eine Basis für diese Menge das Axiom der Wahl erfordert und nicht explizit beschrieben werden kann? Dies ist keine Hausaufgabenfrage oder so etwas; Ich bin nur Neugierig.

Answer 1

Kein einziger konkreter Satz, der eine bestimmte Eigenschaft zulässt, würde das Axiom der Wahl implizieren. Zeitraum. Das Axiom der Wahl ist eine globale Aussage, und Aussagen über eine Menge mit einer bestimmten Eigenschaft sind lokal (ich spreche nicht von einer globalen Aussage, z. B. "Für jede Menge$A$, $A\times X$ kann geordnet sein "impliziert das Axiom der Wahl für jede feste Menge $X$, das ist Betrug).

Wir können immer das Axiom der Wahl scheitern lassen, so sehr wir wollen, dass es scheitert, während die reellen Zahlen und jede Menge, um die Sie sich jemals kümmern würden, gut geordnet werden können, so dass alle Vektorräume "die wichtig sind" a haben Basis. Mit anderen Worten, das Axiom der Wahl ist eine globale Aussage, daher geht es bei ihrer Negation nicht um eine Menge. Es geht um die Existenz eines Gegenbeispiels.

(Wir wissen eigentlich gar nicht, ob es ein Feld gibt $F$ so dass "Alle Vektorräume über $F$ eine Basis haben "impliziert das Axiom der Wahl; von globalen Aussagen zu sprechen, die als lokale Aussagen getarnt sind.)

Andererseits ist es konsistent, dass jede Menge von Real die Baire-Eigenschaft hat, was impliziert, dass jede lineare $T\colon\Bbb{R^N\to R^N}$ist kontinuierlich. Leider kann es nur einen trennbaren Raum geben$2^{\aleph_0}$kontinuierliche Funktionen; aber wir können leicht zeigen, dass eine Basis von$\Bbb{R^N}$ muss Größe haben $2^{\aleph_0}$ auch, und deshalb würde es geben $2^{2^{\aleph_0}}$lineare Funktionen, die gerade durch Permutationen einer solchen Basis induziert wurden. Und so, in der Tat, wenn alle Real-Sets die Baire-Eigenschaft haben, keine Grundlage für$\Bbb{R^N}$ kann existieren.