Beispiel einer Funktion mit einer merkwürdigen Eigenschaft

Aug 16 2020

Bezeichnen mit $L^1(0,1)$ der Raum von Lebesgue integrierbaren Funktionen auf dem Intervall $(0,1)$.

$\textbf{Question:}$ Gibt es eine Funktion? $F:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$ so dass:

  1. $\frac{F(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
  2. $\frac{F'(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
  3. $\frac{F(x)}{x^2}\notin L^1(0,1)$?

Ich vermute, dass die Antwort positiv ist und es darum geht zu konstruieren $F$ so dass $F$ und $F'$benimm dich angemessen nahe Null. Es scheint ziemlich empfindlich. Ich habe das überprüft$F$ kann kein Polynom oder eine Potenzfunktion sein (seitdem $F'\simeq \frac{F}x$somit können die Bedingungen 2 und 3 nicht gleichzeitig gelten).

Ich würde mich über Hinweise freuen!

Antworten

11 FedorPetrov Aug 16 2020 at 05:59

Es gibt keine solche Funktion. Zunächst,$|F(a)-F(b)|\leqslant \int_a^b |F'(x)|dx\to 0$ wann $a,b\to 0$. So$F$ hat eine Grenze $c$ bei Punkt 0. Wenn $c\ne 0$, dann 1) schlägt fehl. So$\lim_{x\to 0} F(x)=0$.

Nächster, $$|F(a)|\leqslant \int_{0}^a|F'(x)|dx\leqslant a\int_{0}^a\frac{|F'(x)|}x dx=o(a),\quad\text{when}\quad a\to 0.\quad (1)$$ Jetzt $$ \int_a^b \frac{F(x)}{x^2}dx=\frac{F(a)}a-\frac{F(b)}b+\int_a^b \frac{F'(x)}xdx. \quad(2) $$ Betrachten Sie zwei Fälle:

  1. $F$ hat ein festes Vorzeichen in der Nähe von 0. Dann wählen $a,b$ nahe 0 schließen wir aus (1) und (2), dass $\int \frac{F(x)}{x^2}dx$ konvergiert bei 0, aber dies entspricht der Konvergenz von $\int \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ was wir brauchen.

  2. $F$ hat unendlich viele Nullen in jeder Nachbarschaft von 0. Dann wählen $(a_k,b_k)$ als einschlussmaximale Intervalle des offenen Satzes $\{x:F(x)\ne 0\}$ und Beantragung von (2) für $a=a_k,b=b_k$ wir gebunden $\int_0^c \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ über $\int_0^c \frac{|F'(x)|}{x}dx$. Hier$c=b_1$, beispielsweise.