Beispiel von $f \in K[x]$ durch Radikale lösbar, aber mit einer Wurzel, die nur durch Koeffizienten von unaussprechlich ist $f$ und +, -, *, /, $\sqrt[n]{…}$
Bemerkung: Auf den ersten Blick scheint es sich um ein Duplikat von Example of zu handeln$f \in K[x]$ durch Radikale lösbar, aber mit einer Wurzel, die nicht nur mit Koeffizienten von ausgedrückt werden kann $f$, $+,-,\cdot,\frac{..}{..}$aber es ist nicht. Ich habe in dieser Frage übersehen - ich habe vergessen anzugeben$\sqrt[n]{...}$ als eine Operation, die wir in einem Ausdruck verwenden können.
Die folgenden Definitionen stammen aus der Lösbarkeit durch Radikale und implizieren eine Radikalformel für ihre Wurzeln (Frage von Eparoh):
Definition 1 : Wir sagen, dass eine Felderweiterung$F/K$ ist eine radikale Erweiterung, wenn wir eine Kette von Feldern bilden können $$K=K_0 \leq K_1 \leq \cdots \leq K_n=F$$ wo $K_{i+1}/K_i$ ist eine einfache Erweiterung, so dass $K_{i+1}=K_i(a_i)$ und $a_i^{k_i} \in K_i$ für eine positive ganze Zahl $k_i$.
Definition 2 : Let$K$ ein Feld sein und $f(x) \in K[x]$das sagen wir $f$ ist durch Radikale lösbar, wenn eine radikale Ausdehnung vorliegt $F/K$ so dass $F$ enthält ein Aufteilungsfeld von $f$ Über $K$.
Diese Frage hat keine Antwort, aber einen Kommentar von reuns:
Die Radikalformeln für die Wurzeln hängen von Konstanten von ab $K$Sobald das Polynom festgelegt ist, ist dies alles, was wir wollen (es gibt Algorithmen für die Minimalpolynome des Teilungsfelds und die Galois-Gruppe, wenn es lösbar ist, können wir uns abrollen, um die radikalen Formeln zu finden). Was Sie fragen, ist, ob es endlich viele radikale Formeln gibt$F_{d,l}$ von $d+1$ Variablen, so dass für jedes lösbare Polynom $∑_{j=0}^{d} c_j x_j \in K[x]$ Grad $d$ seine Wurzeln sind gegeben durch $F_{d,l}(c_0,…,c_d)$ für einige $l$. Dies ist das Problem des Modulraums / der Parametrisierung lösbarer Polynome vom Grad$d$.
Lassen $K$ein Feld sein. Können Sie ein Beispiel geben?$f \in K[x]$ das ist durch Radikale lösbar, kann aber nicht nur mit Polynomkoeffizienten ausgedrückt werden, $+, -, \cdot, \frac{...}{...}$ und Operationen der Wurzeln der natürlichen ($N_+$) Grad und Beweis dieser Tatsache?
Soweit ich den oben zitierten Kommentar verstehe, existieren solche Polynome und Wurzeln. Ich stelle diese Frage nach einer langen Suche nach der Antwort auf genau die Frage, die im verlinkten Beitrag gestellt wird. Ich habe keine Ahnung, wo ich nach Beispielen für solche Polynome und Wurzeln in der Literatur suchen soll. Die Antwort auf die ursprüngliche Frage zu finden, war selbst schwierig. Ich habe versucht, nach "Modulraum / Parametrisierung lösbarer Polynome" zu googeln, habe aber wenig Hoffnung, dass es Informationen zurückgibt, die für das gestellte Problem relevant sind, aber kein Glück (wie natürlich zu erwarten ist, da es nicht direkt damit zusammenhängt).
Ich muss sagen, dass ich den zitierten Kommentar nicht genau verstehe, aber ich denke, ich werde eine andere Frage stellen, um meine Zweifel auszuräumen.
Bearbeiten 1: Ich habe dies hinzugefügt, weil es den Anschein hat, dass die Antwortenden eine implizite Annahme treffen, die genau der Punkt meiner Frage ist. Ich frage, ob es ein Beispiel dafür gibt$f \in K[x]$das ist durch Radikale lösbar, kann aber nicht mit NUR Polynomkoeffizienten ausgedrückt werden ,$+,−,\cdot,$ und Operationen der Wurzeln der natürlichen ($N_+$) Grad. Das heißt, es ist nicht gestattet, diese Mitglieder von K zu verwenden, die in dieser Form nicht ausdrückbar sind . Die Frage, aus der ich Definitionen übernommen habe, stellt eine sehr ähnliche Frage, aber sie ist nicht dieselbe, da sie nicht nach einem solchen spezifischen Beispiel fragt. Ich verstehe den Kommentar von reuns nicht genau und habe einige Zweifel, ob er korrekt ist (siehe die Fragen, aus denen ich Definitionen abgeleitet habe, ich denke, dass dies für diese Diskussion von Vorteil sein wird). Aber so wie ich es verstehe, heißt es, dass es immer möglich ist, Wurzeln nur mit Mitgliedern von K auszudrücken, wenn die von mir aufgeführten Annahmen erfüllt sind.$+, -, \cdot, \frac{...}{...}$ und Operationen der Wurzeln der natürlichen ($N_+$) Grad, aber nicht unbedingt nur Polynomkoeffizienten ,$+, -, \cdot, \frac{...}{...}$ und Operationen der Wurzeln der natürlichen ($N_+$) Grad.
Antworten
Ich denke, das ist eher eine Verwirrung der Sprache und sonst nichts. Wenn$f(x) \in K[x] $ ist ein spezifisches Polynom dann die Koeffizienten von $f$ sind nichts als bestimmte Mitglieder von $K$.
Und dann, wenn Sie eine Formel für Wurzeln von haben $f$ das beinhaltet eine Kombination einiger Mitglieder von $K$ zusammen mit Operationen wie $+, -, \times, /, \sqrt[n] {. } $ dann die Koeffizienten von $f$ selbst Mitglieder von $K$kann nicht visuell in der Formel lokalisiert werden. Jedes Mitglied von$K$ kann zum Beispiel leicht als eine Kombination einer gegebenen Anzahl von Mitgliedern von geschrieben werden $K$ Verwenden Sie nur die Feldoperationen.
Sie versuchen vielleicht, sich ein Beispiel vorzustellen, bei dem die Koeffizienten Literale sind, wie im Fall von $x^2+ax+b$ und $K=\mathbb{Q} $, aber auch das ist falsch. In diesem Fall sollte das Feld sein$K=\mathbb{C} (a, b) $.
Nehmen wir dann an, wir haben ein wörtliches Polynom $$f(x)= x^n+a_1x^{n-1}+\dots+a_{n-1}x+a_n$$ über Feld $K=\mathbb{C} (a_1,a_2,\dots,a_n)$. Wenn$f$ ist durch Radikale über lösbar $K$ Dann beinhaltet die Formel für Wurzeln arithmetische Operationen und Radikale (verschachtelt, falls erforderlich), die auf Mitglieder von angewendet werden $K$ und es enthält die Literalkoeffizienten von $f$ weil sie was sind $K$ist hergestellt aus. Dies ist leicht der Fall bei quadratischen oder kubischen Gleichungen, von denen bekannt ist, dass sie lösbar sind.
Daher geben die Koeffizienten immer die Formel für Wurzeln ein, wenn eine Formel verfügbar ist.
Beachten Sie auch die bekannte Tatsache (von Abel lange vor Galois festgestellt), dass die Polynome mit Literalkoeffizienten über ihr Koeffizientenfeld lösbar sind ($K=\mathbb{C} (a_1,a_2,\dots,a_n)$) dann und nur dann, wenn $n<5$.
Ein solches Beispiel zusammenzufassen, das Sie suchen, existiert nicht.
Ich habe versucht, die Bedeutung des Kommentars durch Wiederholungen zu erkennen, und es scheint im Zusammenhang mit der Behandlung von lösbarem Quintic zu stehen, die Dummit und Foote in seiner Abstrakten Algebra gegeben haben .
Sie beschreiben ein Kriterium, um zu prüfen, ob ein bestimmtes Quintikum vorliegt $$f(x) =x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\in\mathbb{Q}[x]$$ ist über lösbar $\mathbb{C} $. Die Idee ist, ein kompliziertes Polynom vom Grad 6 in zu bilden$\mathbb{Q} [x] $ mit Koeffizienten unter Verwendung von Koeffizienten von $f$ und prüfen, ob es eine rationale Wurzel hat oder nicht.
Und wenn das oben erwähnte Polynom des Grades 6 eine rationale Wurzel hat, dann $f$ ist durch Radikale über lösbar $\mathbb{C} $. Vielleicht möchten Sie (für diesen Fall) überprüfen, ob es eine Formel für Wurzeln gibt, die auf Elementen von basiert$K=\mathbb {C} (a, b, c, d, e) $. Ich denke, es gibt eine solche Formel, aber ich bin mir nicht sicher.
Normalerweise, wenn wir das Problem der Lösbarkeit eines Polynoms betrachten $f(x) \in K[x] $, das Feld $K$ ist das kleinste Feld, das die Koeffizienten von enthält $f$. In diesem Fall, wenn das Polynom durch Radikale über lösbar ist$K$ dann können die Wurzeln in Koeffizienten von ausgedrückt werden $f$ über arithmetische Operationen und Radikale.
Das Feld vergrößern $K$ zu einer gewissen Erweiterung $L$ und Überprüfung der Lösbarkeit vorbei $L$ macht das Problem einfacher (trivial wenn $L$ teilt das Feld von $f$).
Auch wenn wir das Szenario betrachten, in dem $f(x) \in K[x] $ ist durch Radikale über lösbar $K$ und $F\subset K$ ist das kleinste Feld, das die Koeffizienten enthält, die wir benötigen, um das Problem der Lösbarkeit von zu untersuchen $f$ Über $F$ getrennt und man kann nichts von seiner Lösbarkeit über ableiten $K$.
Daher ist Ihr Problem nur in der üblichen Umgebung sinnvoll, in der die Lösbarkeit über das Koeffizientenfeld überprüft wird und dann (um das zu wiederholen, was ich zuvor gesagt habe) die Art von Beispiel, die Sie suchen, nicht existiert.