Berechnen Sie den Gesamtdrehimpuls des Objekts, das sich um 2 Achsen dreht (z. B. Erde).
Betrachten Sie die Erde. Es dreht sich mit einer gewissen Winkelgeschwindigkeit um seine eigene Achse (durch die Pole)$\vec\omega$und um die Sonne mit einer Winkelgeschwindigkeit $\vec\Omega$.
In jedem Lehrbuch / jeder Webseite, die ich bisher gesehen habe, habe ich gesehen, dass der Drehimpuls aufgrund der Umlaufbahn der Sonne getrennt vom Drehimpuls aufgrund der Erdrotation um ihre eigene Achse berechnet wird.
Groß. Aber wie bekomme ich den vollständigen Drehimpuls der Erde?
Mir ist die folgende Antwort bekannt: Drehimpuls des rotierenden und rotierenden Körpers (Erde) , aber ich glaube nicht, dass er die Frage beantwortet. Die Antwort verwendet eine Winkelgeschwindigkeit$\vec {\boldsymbol{\omega}}$- aber wie würden Sie diese Geschwindigkeit überhaupt erhalten, wenn sich das Objekt um zwei Achsen dreht? Der Rotationssatz von Euler wird nicht angewendet, da sich eine der Achsen nicht auf dem Objekt befindet.
Daher werde ich die Frage wiederholen: Bei einer umlaufenden Winkelgeschwindigkeit $\vec\Omega$ und Winkelgeschwindigkeit um die Erdachse $\vec\omega$, wie würde ich den gesamten Drehimpuls der Erde finden (oder ein Objekt, das eine ähnliche Rotationsbeschreibung mit 1 Rotationsachse am Körper zeigt, die andere aus)?
Antworten
Betrachten Sie zunächst, dass sich die Erddrehung in einem Winkel zur Orbitalachse befindet.
Hier $$\begin{array}{r|c|c|c}\\ \text{Quantity} & \text{Symbol} & \text{Value} & \text{Units} \\ \hline \text{orbital distance} & R & 1 & \text{AU} \\ & & 1.496\cdot 10^{11} & \text{m} \\ \text{orbital speed} & \Omega & 1 & \text{rev/year} \\ & & 1.991\cdot 10^{-7} & \text{rad/s} \\ \text{spin} & \omega & 1 & \text{rev/day} \\ & & 7.2921\cdot 10^{-5} & \text{rad/s} \\ \text{axial tilt} & \theta & 23.4 & \deg \\ & & 0.4084 & \text{rad} \end{array}$$
Die kombinierte Rotation (unter Angabe des Titels über die negative x- Achse von oben) ist
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1.991 \cdot 10^{-7}} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \pmatrix{0\\0\\7.2921 \cdot 10^{-5} } = \pmatrix{0 \\ 2.8961\cdot 10^{-5} \\ 6.7123\cdot 10^{-5} }\; \text{[rad/s]} $$
was übersetzt werden kann in
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 5.9735 \\ 13.845 } \; \text{[deg/hr]}$$
Interessant ist, dass Sie den augenblicklichen Drehpunkt der Erde relativ zur Erde berechnen können $(c_y,c_z)$ ($c_z$unten negativ gezeigt). Dies ist der Punkt, um den sich die Erde tatsächlich dreht.
Um den Punkt zu finden, berechnen Sie die Umlaufgeschwindigkeit (positive x- Achse ist nicht auf der Seite)
$$ \vec{v} = \vec{\Omega} \times \pmatrix{0\\-R\\0} = \pmatrix{ 2.9785\cdot 10^{4} \\ 0 \\0} \;\text{[m/s]}$$
und dann das Rotationszentrum
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \frac{ \vec{w} \times \vec{v}}{ \| \vec{w} \|^2} = \pmatrix{0 \\ 3.7410\cdot 10^{8} \\ -1.6141\cdot 10^{8} }\;\text{[m]} $$
was angesichts der Mondentfernungseinheiten (1 LD = 384402000 m ) interessant ist
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \pmatrix{ 0 \\ 0.9732 \\ -0.4199 }\;\text{[LD]} $$
Das ist immer fast eine LD in Richtung Sonne und eine halbe LD unter der Erde in der Sommersonnenwende und eine halbe LD über der Erde in der Wintersonnenwende.
Nachdem die Kinematik der Erde festgelegt ist, können wir über Dynamik sprechen.
Die Erde dreht sich mit $\vec{w}$ und so ist sein Drehimpuls im Mittelpunkt der Erde $$\vec{L}_E = \mathrm{I}_E\, \vec{w}$$ wo ${\rm I}_E$ ist das Massenträgheitsmoment der Erde.
Da sich die Erde aber auch übersetzt, hat sie einen linearen Impuls $$ \vec{p} = m_E \vec{v}$$.
Um den Drehimpuls der Erde um die Sonne zu berechnen, kombinieren wir beide Größen mit der folgenden Regel
$$ \vec{L}_S = \vec{L}_E + \pmatrix{0\\-R\\0} \times \vec{p} $$
Wenn Sie die Berechnung durchführen, finden Sie den größten Teil des Drehimpulses entlang der z- Achse mit einer kleinen Komponente entlang der y- Achse.
Interessant ist, dass Sie den Ort im Raum finden können, durch den die Schlagachse der Erde verläuft. In ähnlicher Weise wie oben ist dieser Punkt
$$ \pmatrix{0\\h_y\\h_z} = \frac{ \vec{p} \times \vec{L}_E}{ \| \vec{p} \|^2} $$
Die Bedeutung dieses Punktes im Raum ist, dass Sie einen gleichen und entgegengesetzten Impuls anwenden würden $\vec{p}$Für die Erde durch das Zentrum des Schlagzeugs würde die Erde nicht nur aufhören zu umkreisen, sondern auch aufhören, sich zu drehen . Sie können die gesamte kinetische Energie der Erde mit einem Impuls durch diesen Punkt entfernen. Es würde die Erde auf ihren Spuren stoppen.
Überraschenderweise hängt die Regel zum Addieren von zwei Winkelgeschwindigkeiten nicht davon ab, ob die "Achse dieser Winkelgeschwindigkeiten" durch das Objekt verläuft oder nicht und ob sie sich schneiden oder nicht.
Die Winkelgeschwindigkeit eines Körpers hängt nicht von Ihrer Wahl des Trägheitsreferenzrahmens ab. Angenommen, wir haben einen Pfeil am Körper angebracht. im Moment$t_0$ Dieser Pfeil zeigte auf einen entfernten Stern $A$;; im Moment$t_1$ Dieser Pfeil zeigte auf einen anderen entfernten Stern $B$- Nun, wenn es wahr ist, dann ist es in allen Trägheitsreferenzrahmen wahr. Und wie schnell sich die Ausrichtung des Körpers ändert - es hängt nicht vom Referenzrahmen ab (solange der Referenzrahmen träge ist).
Messen wir nun die gesamte Winkelgeschwindigkeit der Erde. Es ist möglich, es zuerst in dem Referenzrahmen zu messen, der an der Sonne angebracht ist und sich so dreht, dass die Geschwindigkeit der Erde Null ist. Nehmen wir an, die Winkelgeschwindigkeit der Erde in diesem Bezugsrahmen ist$\vec\omega$. Die Winkelgeschwindigkeit des Referenzrahmens beträgt$\vec\Omega$, also ist die Gesamtwinkelgeschwindigkeit der Erde $\vec\omega + \vec\Omega$. Es ist ein Vektor, der auf den Polarstern gerichtet ist. Seine Größe beträgt ungefähr$1/86164sec$ - wobei 86164 die Anzahl der Sekunden am Sternentag ist, dh die Rotationsperiode der Erde relativ zu entfernten Sternen.
Nun zum zweiten Teil Ihrer Frage: "In jedem Lehrbuch / jeder Webseite, die ich bisher gesehen habe, habe ich gesehen, dass der Drehimpuls aufgrund der Umlaufbahn der Sonne getrennt vom Drehimpuls aufgrund der Erdrotation um ihre eigene Achse berechnet wird. ""
Diesmal ist der Bezugsrahmen an die Sonne gebunden und träge. Die "faire" Methode zur Berechnung des gesamten Drehimpulses der Erde in diesem Referenzrahmen besteht darin, die Erde in viele kleine Teile aufzuteilen, den Impuls jedes Teils zu berechnen und die Ergebnisse zusammenzufassen. Einfacher wäre es, den Impuls um den Erdschwerpunkt zu berechnen, als den Impuls der Erde so zu berechnen, als ob sich die gesamte Masse im Erdmittelpunkt befindet, und diese beiden Vektoren zu addieren. Das Gesamtergebnis wäre das gleiche - es ist ein einfacher mathematischer Satz.
Beachten Sie, dass der Impuls aufgrund der Erdrotation um ihre Achse viel kleiner ist als der Impuls aufgrund der Erdrotation um die Sonne. Noch wichtiger ist, dass nicht nur der gesamte Erath-Impuls (dh die Summe dieser beiden Vektoren) zeitlich konstant ist, sondern jede dieser Komponenten selbst konstant ist! (Wir ignorieren den Einfluss des Mondes und anderer Planeten). Wenn Sie also die Details berechnen möchten, wie die Geschwindigkeit der Erde von der Entfernung zur Sonne abhängt (Keppler-Gesetze), können Sie den Teil des Drehimpulses der Erde "Rotation um die eigene Achse" ignorieren.